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1、第三章、非线性粘弹流体的本构方程,第一节、本构方程 第二节、空间描述法和物质描述法 第三节、广义Maxwell模型,聚合物具有多层次内部结构，当其在加工流场中受外力作用时，它们的变化相当复杂，表现出与之相关联的各种宏观流变行为。,（1）不同类型流体的流动曲线,（2）weissenberg效应,（3）出口胀大,（4）二次流动,当聚合物流动在一椭圆形截面的管子中流动时，除了轴向流动外，还可能出现图中对称于椭圆两轴线的环流。称为二次流动。第二法向应力差的存在是出现二次流动的必要条件。第二次法向应力差与聚合物大分子链被拉伸的程度相关。对于聚合物共混来说，为了更加达到均匀混合的目的，二次流动的出现是有利
2、的。,（5）无管虹吸,第一节、本构方程概念,本构方程描述一大类材料所遵循的与材料结构属性相关的力学响应规律的方程。 不同的材料以不同本构方程表现其基本物性：,胡克弹性体的本构方程为,牛顿流体的本构方程实质方程为,理想气体的本构方程为 PV=nRT,非牛顿流体的本构方程为,对于粘性流体，现在时刻的应力只依赖于现在时刻的形变速率张量，与形变的历史无关。1=2=0，为常数，称为牛顿流体。=(),称为非牛顿流体。 对于粘弹性流体， 1和2不等于0，此时流体具有记忆特性，现在时刻的应力不仅与当前的形变速率张量有关，还与形变历史有关。,对高分子材料流变学来讲，寻求能够正确描述高分子液体非线性粘弹响应规律的
3、本构方程无疑为其最重要的中心任务，这也是建立高分子材料流变学理论的基础。,关于非线性粘弹流体的本构方程主要可分为两大类：速率型（亦称微商型）本构方程和积分型本构方程。,所谓速率型本构方程，即方程中包含了应力张量或形变速率张量的时间微商，或同时包含这两个微商。 所谓积分型本构方程则利用迭加原理，把应力表示成应变历史上的积分，或者用一系列松弛时间连续分布的模型的叠加来描述材料的非线性粘弹性。积分又分为单重积分或多重积分。速率型本构方程和积分型本构方程本质上是等价的。,速率型本构方程,一、经典的线性粘弹性模型 Maxwell模型 已知高分子材料本体的线性粘弹行为可以用一些力学模型，如Maxwell模
4、型、开尔文模型、及它们的恰当组合进行描述。,弹簧是最简单的弹性模型，粘壶是最简单的粘性模型，弹簧盒粘壶的组合构成粘弹性材料的机械模型。 弹簧满足线形弹性体的三个条件： （1）应力与应变的响应是瞬时的：对突加载荷，一旦加载，弹簧立即变形，一旦卸载，弹簧立即恢复到原来的形状。 （2）对线性弹簧，应力与应变成正比。 （3）应力和应变都不随时间而改变。,一个具有一块平板浸没在一个充满粘度为,符合牛顿流动定律的流体的小壶组成的粘壶,可以用来描述理想流体的力学行为.,Maxwell模型:,特点:两个单元串连而成,外力作用在此模型上时,弹簧和粘壶所受的外力相同,总应变等于两个应变之和 : =1+2,在一定得
5、应力作用下，材料可以无限的变形，这是粘性流体的特征。Maxwell模型瞬时响应呈现弹性体的特征，而时间效应呈现粘性流体的特征。,当对该模型加荷时，总应力由弹簧和粘壶一起承担，而总的应变则是两者的加和。,开尔文模型,开尔文模型是由一个弹簧和一个粘壶并联而成。,特点:两单元并联.=弹=粘, =粘+弹,开尔文模型是理想弹簧并联了一个粘壶，不能对应力或应变产生瞬时弹性效应。当t无穷时，开尔文模型的蠕变趋向于一条渐近线，这是粘弹性固体在稳定蠕变时的特征。,各种其他模型,设液体在剪切力作用下发生流动，弹簧、粘壶同时发生形变。注意图中画出的是拉伸形变，我们想象在流场中，弹簧、粘壶发生剪切形变。,对弹簧有,对
6、粘壶有,总应力,总应变,式中,为应力对时间的一般偏微商,Maxwell模型,是一个具有时间量纲的物理量,为Maxwell方程的特征时间常数,叫应力松弛时间.,E,E,E,应力松弛过程总形变固定所以,模型的价值:我们从松弛时间可以看出,它既与粘性系数有关,又与弹性模量有关.说明松弛过程是弹性行为和粘性行为共同作用的结果.,Maxwell模型描述线性聚合物应力松弛,t=时， (t) = 0 /e 的物理意义为应力松弛到0 的 1/e的时间-松弛时间,t ，(t) 0 应力完全松弛,用途: 描述应力松弛过程:当受到F作用,弹簧瞬时形变,而粘壶由于黏性作用来不及形变,应力松弛的起始形变由理想弹簧提供,
7、并使两个元件产生起始应力0,随后粘壶慢慢被拉开,弹簧回缩,形变减小,到总应力为0.,Maxwell模型应力松弛曲线,Maxwell模型描述线性聚合物应力松弛,某聚合物受外力后，其形变按照下式 发展。式中，0为最大应力;E(t)为拉伸到t时的模量。今已知对聚合物加外力8s后，其应变为极限应变值的13。求此聚合物的松弛时间为多少?,解：,当,将上式写成三维形式，以张量表示，则有：,式中：为应力张量中的偏应力张量；d为速度梯度张量中的形变率张量，并有：,L为速度梯度张量 注意：假设形变过程中没有旋转，式中系数2的出现是由于采用了张量描述的缘故.,Maxwell模型张量式,例1Maxwell模型用于描
8、述稳态简单剪切流场,简单剪切流场形式如图,速度场方程为：,简单剪切流场中由于流场是稳定的，因此该点的应力状态不随时间变化，故有：,对于稳态简单剪切流场，其形变率张量为,代入式中得到：,将方程中等号两边张量的各个对应分量分别联立起来，就得到一个由九个方程组成的方程组。由此解得：,只能描述 牛顿型流体的粘性行为， 高分子液体在剪切速率极低情况下的流动状态。,Maxwell模型有限的描述能力与方程的推广方式有关，特别与方程中应力张量的导数形式有关。 式中描述的应力变化的导数形式是应力对时间的一般偏微商，这种偏微商通常只能描述无穷小形变行为，或流动中体系性质无变化的形变行为。对于描述高分子液体在大形变
9、下的非线性粘弹行为，必须对力张量的导数形式审慎定义和推广。 另外，在考察流场中流体流动时，紧盯着固定坐标系的一点考察（注意在不同时刻流经该点的流体元不同）和紧跟着一个流体元考察（该流体元在不同时刻占据空间不同位置）是大不相同的。为此我们首先介绍流体力学中描写材料元流动的空间描述法和物质描述法，然后再讨论经典Maxwell模型的推广。,第二节、空间描述法和物质描述法,例如：设一流体元初始时刻在参考构型中的位置矢量为X，到t时刻它运动到即时构型中的位置x. 根据拉格朗日描述，流体元在某一时刻t到达空间的位置x即与X有关，所以x可以写成X和时间t的函数，记成：,反过来，X也可以记成x和时间t的函数：
10、,式则确定了在时间t占有空间位置x的流体元在时间t所经历的位移。,式确定了由物质坐标XR决定的流体元在时间t的位移。,采用物质描述时，以X为自变量，将当作物质坐标X和时间t的函数，记为：,设在时间t内，流体元的位移矢量为有：,而采用空间描述时，以x为自变量，则是空间坐标x和时间t的函数，记为：,速度矢量：流体元的位移矢量的时间变化率。因为要针对一个具体的流体元求速度，所以应当采用物质描述, 一个具体流体元的物质坐标XR是常数，所以速度矢量等于：,展开来写，可写成分量式：,这种导数因为是针对具体流体元而求的， 所以称为对时间的物质导数。,若将这种物质导数用空间描述法表示 ，则应把上式中的X替换成
11、式中的x,表达成x的函数。有：,式中为x和t的函数，而x又为t的函数。,因此这个导数展开来写，有：,也称对时间求全导数，这是物 质导数（物质微商）在空间描述法中的表示形式。式还可记成以下矢量形式：,式中等号右边 第一项为对时间t的一般偏导数，第二项表示为两个矢量的点积， 其中的矢量算符称作哈密尔顿算子，定义为：,ej为坐标轴的单位矢量。注意式只是一种记法，展开写应是 三个公式，分别相关于矢量的三个分量，uj称作对uj求梯度运算。,对流动场中其他与流体元相关的物理量，若用空间描述法表示其对时间的物质导数，都有类似的形式。 例如应力张量得分物质微商可记为：,这实际是九个方程的缩写。,第三节、广义M
12、axwell模型,一、White-Metzner模型,随流坐标系中，质点的随流坐标不变，为常数，故此采用随流坐标对流体元的描述为物质描述。 随流坐标系中对形变的度量是通过计算在两个时刻(t,t) 一个材料元中任何两个质点间的距离变化来表示的。这种形变度量也必须转换到固定的空间坐标系中，而且两个时刻计算的质点间距离必须与固定的空间坐标系中的同一点相关。,在随流坐标系中，对物理量求时间导数时保持随流坐标不变，因此对任何物理量所求的时间导数均为物质导数。 Oldrovd随流微商，记作t。但是这种随流微商需要转换到固定的空间坐标系中。二阶应力张量Tij的Oldrovd随流微商转换到固定坐标系后的形式为
13、：,式中等号右边第一项为,二阶应力张量在固定坐标系的物质微商，可以理解为在固定坐标系中的某一材料元的应力张量对时间的变化率。 第二、三项中含有速度梯度的影响，速度梯度中含 有形变率张量d和旋转速率张量两部分，它描述了材料元对于固定坐标系的有限形变和旋转运动。,White-Metzner推广经典的Maxwell模型，其方法就是采用对应力张量求Oldroyd随流微商代替一般偏微商以及物质微商都不相同。 为检验White-Metzner模型的说明能力，将该模型用于描述稳态简单剪切流场：,首先考察偏应力张量的 Oldroyd随流微商的具体表达式。由于流动是稳定的，所以式中等号右边第一项,注意：这儿将偏
14、应力张量分量ij代替了原公式中Tij。又因为v2=v3=0,偏应力分量12沿x1方向无变化，故有,于是偏应力张量的Oldroyd随流微商写成：,代入模型得到,对应得到九个方程组成的方程组：,结构表明，White-Metzner模型优于经典Maxwell模型。除能够描述材料的粘性外，还预言了材料流动中存在法向应力差11-22，这是流体具有弹性行为的标志。 不足的是， White-Metzner模型给出的材料粘度是常数粘度，给出的法向应力差值也是常数，这与高分子流体的实际性质有很大的差别，说明模型本身仍有很大的局限性。 White-Metzner模型只适合于形变较小、非线性行为不太强的场合。,二、
15、Dewitt模型,另一种广义Maxwell模型Dewitt模型，是在Maxwell方程中对应力张量微商代替一般求时间微商这一项，用共旋随流微商代替一般偏微商，又称Jaumann微商。,的意义为某一材料的应力张量对时间的变化率。,第二、三项含有旋转速率张量ik,其值为：,它代表了材料元对于固定坐标系的有限旋转,Dewitt推广Maxwell模型，在Maxwell方程中用对偏应力张量求共旋随流微商代替一般偏微商，得到的Dewitt模型方程形式为,已知下式描绘的稳态简单剪切流场中，旋转速度张量为：,计算式中的Jaumann微商：与在计算Oldroyd微商中同样的原因，首先确定式中第一项等于0，即,第
16、二、三项分别为：,这样，方程可展开写成,这同样是9个方程组，解此方程组得到粘度和法向应力差系数为,这一结果使人惊 奇，式描述了剪切粘度与法向应力差系数的剪切速率 依赖性： 当剪切速率r0时，材料表现出常数粘度0（牛顿性）和常数法向应力差系数； 当剪切速率升高，粘度和法向应力差系数均趋于下降，呈现出剪切变稀行为。 其次，公式表明，这里描述的液体是弹性液体,10, 20。 与大多数高分子液体的实验事实一致的还有公式给出的第一法向应力差系数为正（0)，第二法向应力差系数为负( 2)。 这些结果，都只是因为我们将方程由实验室系推广到共旋随流坐标系，并且对时间的微商采用了共旋随流微商而得到的。,1、经典的线性粘弹性模型Maxwell模型是由 和 串联而成。 2、 Maxwell模型可用于描述哪些力学模型，还有哪些不足， 怎样改进的？ 3、如何判断本构方程的优劣？,三、其他类型的微分模型,Jeffreys模型，方程形式为：,模型的特点是在原始Maxwell模型基础上，引入对形变率张量的偏微分，同时引入第二时间参数2，使
