《2018高中数学第二章数列2.3等差数列的前n项和(二)新人教A必修5(1)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2018高中数学第二章数列2.3等差数列的前n项和(二)新人教A必修5(1)(44页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章数 列,2.3等差数列的前n项和 (二),1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式;了解等差数列的一些性质. 2.掌握等差数列前n项和的最值问题.3.理解an与Sn的关系,能根据Sn求an.,学习目标,栏目索引,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,2.等差数列前n项和的最值,知识梳理 自主学习,知识点一等差数列前n项和及其最值,答案,最大,答案,最小,最小,最大,知识点二数列中an与Sn的关系 对任意数列an,Sn与an的关系可以表示为,答案,S1,SnSn1,思考若Snn2n,则an_. 解析n2时,anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n, 当n1
2、时,a1S1121221, an2n.,解析答案,2n,知识点三裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而实现求和. 常见的拆项方法:,答案,返回,答案,题型探究 重点突破,题型一已知Sn求an 例1已知数列an的前n项和为Sn,若Sn2n23n,试判断数列an是不是等差数列.,解析答案,反思与感悟,解Sn2n23n,当n2时, anSnSn12n23n2(n1)23(n1)4n1. 当n1时,a1S15411. n1时,适合an4n1. 数列的通项公式是an4n1. 故数列an是等差数列.,当n1适合于an时,则a1可以统一到an(n2,nN*)的形式中.若
3、n1不适合an,则通项公式应写成分段函数形式. (2)等差数列an中,若d0,则Sn可写成关于n的二次函数形式,反之,若SnAn2Bn,那么数列an一定是等差数列.,反思与感悟,跟踪训练1本例中,若Sn2n23n1,试判断该数列是不是等差数列.,解析答案,解Sn2n23n1.n2时, anSnSn12n23n12(n1)23(n1)14n1. 当n1时,a1S16411.,故数列an不是等差数列.,题型二等差数列前n项和的最值问题 例2在等差数列an中,若a125,且S9S17,求Sn的最大值.,解析答案,反思与感悟,解方法一S9S17,a125,,解得d2.,解析答案,反思与感悟,(n13)
4、2169. 当n13时,Sn有最大值169.,方法二同法一,求出公差d2. an25(n1)(2)2n27. a1250,,又nN*,当n13时,Sn有最大值169.,解析答案,反思与感悟,方法三S9S17, a10a11a170. 由等差数列的性质得a13a140. a10,d0,a140. 当n13时,Sn有最大值169. 方法四设SnAn2Bn. S9S17,,反思与感悟,当n13时,Sn取得最大值169.,(1)等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形: 若a10,d0,则Sn存在最小值,即所有非正项之和. (2)求等差数列前n项和Sn最值的两种方法: 寻找正、负项的分界点,可利用等差数
5、列性质或利用,反思与感悟,运用二次函数求最值的方法,注意解自然数.,解析答案,跟踪训练2已知等差数列an中,a19,a4a70. (1)求数列an的通项公式;,解由a19,a4a70, 得a13da16d0,解得d2, ana1(n1)d112n.,解析答案,(2)当n为何值时,数列an的前n项和取得最大值?,解方法一a19,d2,,当n5时,Sn取得最大值. 方法二由(1)知a19,d20,an是递减数列.,nN*,n5时,an0,n6时,an0. 当n5时,Sn取得最大值.,解析答案,反思与感悟,当n2时,anSnSn1,解析答案,反思与感悟,3n104. n1也适合上式, 数列an的通项
6、公式为an3n104(nN*). 由an3n1040,得n34.7. 即当n34时,an0;当n35时,an0.,(1)当n34时, Tn|a1|a2|an|a1a2an,(2)当n35时, Tn|a1|a2|a34|a35|an| (a1a2a34)(a35a36an) 2(a1a2a34)(a1a2an) 2S34Sn,解析答案,反思与感悟,反思与感悟,等差数列的各项取绝对值后组成数列|an|.若原等差数列an中既有正项,也有负项,那么|an|不再是等差数列,求和关键是找到数列an的正负项分界点处的n值,再分段求和.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练3已知等差数列an中,若S216,S424
7、,求数列|an|的前n项和Tn.,解设等差数列an的首项为a1,公差为d,,所以等差数列an的通项公式为an112n (nN*). 当n5时,Tn|a1|a2|an|a1a2anSnn210n.,解析答案,当n6时,Tn|a1|a2|an|a1a2a5a6a7an2S5Sn 2(52105)(n210n)n210n50,,解析答案,题型四裂项相消法求和,反思与感悟,解等差数列an的首项a13,公差d2,,反思与感悟,裂项相消法求数列的前n项和的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项(裂项)之差,并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外,其余各项都能前后相消,进而求数列的前n项和.,反思与感悟
8、,解析答案,解析答案,已知Sn求an忽略n1的情况,易错点,例5已知数列an的前n项和为Snn21,则数列an的通项公式为an_.,误区警示,返回,错解anSnSn1(n21)(n1)212n1. 答案2n1 错因分析运用anSnSn1求通项公式时,要求n2,只有验证n1满足通项公式后,才能用一个式子来表示,否则必须分段表示. 正解当n2时,anSnSn1 (n21)(n1)212n1. 当n1时,a1S11210,不符合上式,,误区警示,误区警示,根据前n项和Snan2bnc判断an是不是等差数列时,只有当c0时是等差数列,否则不是.,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,1.已知数列an的前
9、n项和Snn2,则an等于() A.n B.n2 C.2n1 D.2n1,解析当n1时,a1S11,当n2时,anSnSn1n2(n1)22n1, 又因a11符合an2n1,所以,an2n1(nN*).,D,解析答案,1,2,3,4,5,2.已知Sn是等差数列an的前n项和,且S6S7S5,有下列四个命题:d0;S120;数列Sn中的最大项为S11,其中正确命题的序号是() A. B. C. D.,解析答案,1,2,3,4,5,解析由|a5|a9|且d0得a50,a90,且a5a902a112d0a16d0,即a70,故S6S7且最小.,1,2,3,4,5,3.已知等差数列an中,|a5|a9
10、|,公差d0,则使得前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是_.,6或7,解析答案,1,2,3,4,5,解析答案,n99.,99,1,2,3,4,5,解析答案,5.已知数列an的前n项和Sn32n,求an.,解(1)当n1时,a1S1325. (2)当n2时,Sn132n1, 又Sn32n,anSnSn12n2n12n1(n2). 又当n1时,a121115,,课堂小结,1.因为anSnSn1在n2时才有意义,所以由Sn求通项公式anf(n)时,要分n1和n2两种情况分别计算,然后验证两种情况可否用统一解析式表示,若不能,则用分段函数的形式表示. 2.求等差数列前n项和最值的方法: (1)二次函数法:用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值,但要注意nN*,结合二次函数图象的对称性来确定n的值,更加直观.,返回,3.求等差数列an前n项的绝对值之和,关键是找到数列an的正负项的分界点.,本课结束,