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1、第二章 2.2 等差数列,2.2.2等差数列的前n项和（二）,1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式. 2.会解等差数列前n项和的最值问题. 3.理解an与Sn的关系，能根据Sn求an.,学习目标,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考,知识点一数列中an与Sn 的关系,已知数列an的前n项和Snn2，怎样求a1，an?,答案,a1S11； 当n2时，anSnSn1n2(n1)22n1， 又n1时也适合上式， 所以an2n1，nN.,梳理,对任意数列an，Sn与an的关系可以表示为 an,(n1)， (n2，nN).,S1,SnSn1,知识点二等差数列前n项和的最值
2、,由二次函数的性质可以得出：当a10，d0时，Sn先减后增，有最小值；当a10，d0时，Sn先增后减，有最大值；且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值,思考,我们已经知道当公差d0时，等差数列前n项和是关于n的二次函数Sn n2(a1 )n，类比二次函数的最值情况，等差数列的Sn何时有最大值？何时有最小值？,答案,梳理 等差数列前n项和的最值与Sn的单调性有关 (1)若a10，d0，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相加即得Sn的最小值 (3)若a10，d0，则Sn是递增数列，S1是Sn的最小值 (4)若a10，d0，则Sn是递减数列，S1是Sn的最大值,题型探究,类型一已知数
3、列an的前n项和Sn求an,例1已知数列an的前n项和为Snn2 n，求这个数列的通项公式这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？,解答,根据Sna1a2an1an可知Sn1a1a2an1(n1，nN)，,引申探究 例1中前n项和改为Snn2 n1，求通项公式,解答,已知前n项和Sn求通项an，先由n1时，a1S1求得a1，再由n2时，anSnSn1求得an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示,反思与感悟,跟踪训练1已知数列an的前n项和Sn3n，求an.,当n1时，a1S13； 当n2时，anSnSn13n3n123n1. 当n1时，代入an23n1得a1
4、23.,解答,类型二等差数列前n项和的最值,例2已知等差数列5, ，的前n项和为Sn，求使得Sn最大的序号n的值,解答,所以当n取与 最接近的整数即7或8时，Sn取得最大值,故前n项和是从第9项开始减小，而第8项为0， 所以前7项或前8项和最大,在等差数列中，求Sn的最大(小)值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第1项起到该项的各项的和为最大(小)由于Sn为关于n的二次函数，也可借助二次函数的图象或性质求解,反思与感悟,跟踪训练2在等差数列an中，an2n14，试用两种方法求该数列前n项和Sn的最小值,解答,方法一an2n14，a11
5、2，d2. a1a2a6a70a8a9. 当n6或n7时，Sn取到最小值 易求S6S742，(Sn)min42. 方法二an2n14，a112.,当n6或n7时，Sn最小，且(Sn)min42.,类型三求等差数列前n项的绝对值之和,例3若等差数列an的首项a113，d4，记Tn|a1|a2|an|，求Tn.,解答,a113，d4，an174n. 当n4时，Tn|a1|a2|an| a1a2an,15n2n2； 当n5时，Tn|a1|a2|an| (a1a2a3a4)(a5a6an) S4(SnS4)2S4Sn,2n215n56.,求等差数列an前n项的绝对值之和，根据绝对值的意义，应首先分清这
6、个数列的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前n项的绝对值之和,反思与感悟,跟踪训练3已知数列an中，Snn210n，数列bn的每一项都满足bn|an|，求数列bn的前n项和Tn的表达式,由Snn210n得anSnSn1112n(n2，nN) 验证a19也符合上式 an112n，nN. 当n5时，an0，此时TnSnn210n； 当n5时，an0，此时Tn2S5Snn210n50.,解答,当堂训练,当n1时，a1S12， 当n2时，anSnSn12n， 又因为a12符合an2n， 所以an2n.,1.已知数列an的前n项和Snn2n，则an等于 A.4n2 B.n2 C.2n1 D.2
7、n,答案,解析,1,2,3,4,等差数列的前n项和Sn的形式为Snan2bn， 故1.,2.已知数列an为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn(n1)2，则的值是 A.2 B.1 C.0 D.1,答案,解析,1,2,3,4,S3S8， S8S3a4a5a6a7a85a60，a60. a10，a1a2a3a4a5a60，a70. 故当n5或6时，Sn最大.,1,2,3,3.首项为正数的等差数列，前n项和为Sn，且S3S8，当n_时，Sn取到最大值.,5或6,答案,解析,4,1,2,3,当n1时，a1S1325. 当n2时，Sn132n1， 又Sn32n，anSnSn12n2n12n1. 又当n1时，a152111，,解答,4,4.已知数列an的前n项和Sn32n，求an.,规律与方法,1.因为anSnSn1只有n2时才有意义，所以由Sn求通项公式anf(n)时，要分n1和n2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示. 2.求等差数列前n项和最值的方法： (1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意nN，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观.,3.求等差数列an前n项的绝对值之和，关键是找到数列an的正负项的分界点.,本课结束,
