建模讲座(三)初等模型-杨斌课件

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1、数学建模系列讲座（三）题目：初等模型主讲：杨斌(城市学院基础课部),主要内容： 一、数学建模过程 二、建立数学模型的方法和步骤 三、模型的分类 四、初等模型 五、案例分析 六、怎样学习数学建模,一、数学建模过程,现实对象与数学模型的关系,二、建立数学模型的方法和步骤,1 方法 机理分析法：以经典数学为工具，分析其内部的机理规律。,统计分析法：以随机数学为基础，经过对统计数据进行分 析，得到其内在的规律。如：多元统计分析。,系统分析法：对复杂性问题或主观性问题的研究方法。 把定性的思维和结论用定量的手段表示出来。如：层次分析法。,2 建模步骤,1）模型准备： 了解问题的实际背景，明确建模目的，掌

2、握对象的各种信息如统计数据等，弄清实际对象的特征。 有时需查资料或到有关单位了解情况等。,2）模型假设： 根据实际对象的特征和建模目的，对问题进行必要地合理地简化。不同的假设会得到不同的模型。如果假设过于简单可能会导致模型的失败或部分失败，于是应该修改或补充假设，如“四足动物的体重问题”；如果假设过于详细，试图把复杂的实际现象的各个因素都考虑进去，可能会陷入困境，无法进行下一步工作。分清问题的主要方面和次要方面，抓主要因素，尽量将问题均匀化、线性化。,3）模型建立： 分清变量类型，恰当使用数学工具； 抓住问题的本质，简化变量之间的关系； 要有严密的数学推理，模型本身要正确； 要有足够的精确度。

3、,4）模型求解： 可以包括解方程、画图形、证明定理 以及逻辑运算等。会用到传统的和近代的数学方法，计算机技 术（编程或软件包）。特别地近似计算方法（泰勒级数，三角级数，二项式展开、代数近似、有效数字等）。,6）模型检验： 把模型分析的结果“翻译”回到实 际对象中，用实际现象、数据等检验模型的合理性 和适应性检验结果有三种情况：符合好，不好，阶 段性和部分性符合好。 7）模型应用：应用中可能发现新问题，需继续完善。,5）模型分析：结果分析、数据分析。 变量之间的依赖关系或稳定性态；数学预测；最优 决策控制。,三、模型的分类,1）按变量的性质分：,2）按时间变化对模型的影响分,3）按模型的应用领域

4、（或所属学科）分 人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、 水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、 生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、 数量经济学模型、数学社会学模型等。,4）按建立模型的数学方法（或所属数学分支）分 初等模型、几何模型、线性代数模型、微分方程模型、 图论模型、马氏链模型、运筹学模型等。,5）按建模目的分 描述性模型、分析模型、预报模型、优化模型、 决策模型、控制模型等。,6）按对模型结构的了解程度分 白箱模型：其内在机理相当清楚的学科问题，包括力学、热学、电学等。 灰箱模型：其内在机理尚不十分清楚的现象和问题，包括生态、气象、经济、交通等。 黑箱模型：其内在机理

5、（数量关系）很不清楚的现象，如生命科学、社会科学等。,四、初等模型,1、是指可以用初等数学的方法来构造 和求解的模型。 2、需要指出的是： 衡量一个模型的优劣全在于它的应用效果，而不是采用了多么高深的数学方法。进一步说，如果对于某个实际问题，我们用初等的方法和所谓高等的方法建立了两个模型，他们的应用效果相差无几，那么受到人们欢迎并采用的，一定是前者而非后者。,五、案例分析,（一）悬崖高度的估算 （二）雨中行走问题 （三）席位分配问题,（一）崖高的估算,假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法来估计山崖的高度， 假定你能准确地测定时间，

6、你又怎样来推算 山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。,方法一,我学过微积分，我可以做 得更好，呵呵。,令k=K/m，解得,代入初始条件 v(0)=0，得c=g/k，故有,再积分一次，得：,若设k=0.05并仍设 t=4秒，则可求 得h73.6米。,听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了 反应时间,进一步深入考虑,不妨设平均反应时间 为0.1秒 ，假如仍 设t=4秒，扣除反应时间后应 为3.9秒，代入 式，求得h69.9米。,多测几次，取平均值,再一步深入考虑,（二） 雨中行走问题,一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你来不及花时间去翻找雨具，决定碰一

7、下运气，顶着雨去学校。假设刚刚出发雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你将被大雨淋湿。一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。,1 建模准备 建模目标：在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最小。 主要因素： 淋雨量， 降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度,2）降雨大小用降雨强度 厘米/时来描述，降雨强度指单位时间平面上的降下水的厚度。在这里可视其为一常量。,3）风速保持不变。4）你以不变的速度 米/

8、秒跑完全程 米。,2 模型假设及符号说明 1）把人体视为长方体，身高 米，宽度 米，厚度 米。 淋雨总量用 升来记。,3 模型建立与计算,1）不考虑雨的方向，此时，你的前后左右和上方都将淋雨。,淋雨的面积,雨中行走的时间,降雨强度,模型中,结论，淋雨量与速度成反比。这也验证了尽可能快跑能 减少淋雨量。,从而可以计算被淋的雨水的总量为2.041（升）。 经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47 秒，但被淋了 2 升的雨水，大约有4 酒瓶的水量。这是不可思议的。 表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际。,原因：不考虑降雨的方向的假设， 使问题过于简化。,2）考虑降雨方向。,人前进的方向,若记雨

9、滴下落速度为 （米/秒）,雨滴的密度为,雨滴下落的反方向,表示在一定的时刻 在单位体积的空间 内，由雨滴所占的 空间的比例数，也 称为降雨强度系数。,所以，,因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前面。分两部分计算淋雨量。,顶部的淋雨量,前表面淋雨量,总淋雨量（基本模型）,可以看出：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。 问题转化为给定 ，如何选择 使得 最小。,情形1,结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时 淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得,情形2,结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时 淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则

10、计算得,情形3,此时，雨滴将从后面向你身上落下。,出现这个矛盾的原因：我们给出的基本模型是针对雨从 你的前面落到身上情形。 因此，对于这种情况要另行讨论。,当行走速度慢于雨滴的水平运动速度，即,这时，雨滴将淋在背上，而淋在背上的雨水量是,淋雨总量为,再次代如数据，得,结果表明：当行走速度等于雨滴下落的水平速度时，淋 雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿了。,若雨滴是以 的角度落下，即雨滴以 的角从背后落下，你应该以,此时，淋雨总量为,这意味着你刚好跟着雨滴前进，前后都没淋雨。,当行走速度快于雨滴的水平运动速度，即,你不断地追赶雨滴，雨水将淋湿你的前胸。被淋得雨量是,淋雨总量为,4 结论,若雨是迎着

11、你前进的方向向你落下，这时的策略很简单， 应以最大的速度向前跑； 若雨是从你的背后落下，你应控制你在雨中的行走速度， 让它刚好等于落雨速度的水平分量。 5 注意 关于模型的检验，请大家观察、体会并验证。 雨中行走问题的建模过程又一次使我们看到模型假设的重 要性，模型的阶段适应性。,（三） 席位分配问题,某校有200名学生，甲系100名，乙系60名， 丙系40名，若学生代表会议设20个席位，问三系各 有多少个席位？,按惯例分配席位方案，即按人数比例分配原则,表示某单位的席位数,表示某单位的人数,表示总人数,表示总席位数,1 问题的提出,20个席位的分配结果,现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名

12、。,10,6,4,10,6,4,现象1 丙系虽少了6人，但席位仍为4个。（不公平！）,为了避免在表决提案时可能出现10：10的平局，再设一个席位。,21个席位的分配结果,11,7,3,现象2 总席位增加一席，丙系反而减少一席。（不公平！）,惯例分配方法：按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额 按惯例分给小数部分较大者。 存在不公平现象，能否给出更公平的分配席位的方案？,2 建模分析,目标：建立公平的分配方案。 反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数来衡量。,一般地，,当,席位分配公平,但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下标准来判断。,此值越小分配越趋于公平，但这并不是一个好的衡量标

13、准。,C,D的不公平程度大为改善！,2） 相对不公平,表示每个席位代表的人数，总人数一定时，此值 越大，代表的人数就越多，分配的席位就越少。,则A吃亏,或对A 是不公平的。,定义“相对不公平”,对A 的相对不公 平值；,同理，可定义对B 的相对不公平值为：,对B 的相对不公 平值；,建立了衡量分配不公平程度的数量指标,制定席位分配方案的原则是使它们的尽可能的小。,3 建模,若A、B两方已占有席位数为,用相对不公平值,讨论当席位增加1 个时，应该给A 还是B 方。,不失一般性，,有下面三种情形。,情形1,说明即使给A 单位增加1席，仍对A 不公平，所增这一席必须给A单位。,情形2,说明当对A 不

14、公平时，给A 单 位增加1席，对B 又不公平。,计算对B 的相对不公平值,情形3,说明当对A 不公平时，给B 单 位增加1席，对A 不公平。,计算对A 的相对不公平值,则这一席位给A 单位，否则给B 单位。,结论：当（*）成立时，增加的一个席位应分配给A 单位， 反之，应分配给 B 单位。,记,则增加的一个席位应分配给Q值 较大的一方。,这样的分配席位的方法称为Q值方法。,若A、B两方已占有席位数为,4 推广 有m 方分配席位的情况,设,方人数为,，已占有,个席位，,当总席位增加1 席时，计算,则1 席应分给Q值最大的一方。从,开始，即每方,至少应得到以1 席，（如果有一方1 席也分不到，则把

15、它排除在外。）,5 举例,甲、乙、丙三系各有人数103，63，34，有21个席位，如何分配？,按Q值方法：,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,甲：11，乙：6，丙：4,练习,学校共1000学生，235人住在A楼，333人住 在B楼，432住在C楼。学生要组织一个10人 委员会，试用惯例分配方法， dHondt方法和 Q值方法分配各楼的委员数，并比较结果。,dHondt方法,有k个单位，每单位的人数为 pi ，总席位数为n。,做法：,用自然数1,2,3,分别除以每单位的人数，从所得的数中由大到小取前 n 个，（这n 个数来自各个单位人数用自然数相除的结果），这n 个数中哪个单位有几个所分席位就为几个。,六 怎样学习数学建模,数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术,技术大致有章可循,艺术无法归纳成普遍适用的准则,想像力,洞察力,判断力,学习、分析、评价、改进别人作过的模型,亲自动手，认真作几个实际题目,必备知识：,扎实的数学理论知道问题在哪找得到 丰富的想象力大胆猜想，小心求证 坚强的毅力能坚持三天比赛 好的沟通协调能力三人合作力量最大 懂一种数学计算软件推荐MATLAB 较好的文字表达能力写出精彩的论文,谢谢大家！,