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1、2015年普通高等学校招生全国统一考试北 京 卷(文科)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟第卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若集合Ax|5x2，Bx|3x3，则AB()Ax|3x2Bx|5x2Cx|3x3 Dx|5x3第1题图解析：选A.如图所示，易知ABx|3x；a，k2，此时；a，k3，此时；a，k4，此时，输出k4，程序终止6设a，b是非零向量，“ab|a|b|”是“ab”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：选A.因为ab|a
2、|b|cosa，b，所以当ab|a|b|时，有cosa，b1，即a，b0，此时a，b同向，所以ab.反过来，当ab时，若a，b反向，则a，b180，ab|a|b|；若a，b同向，则a，b0，ab|a|b|，故“ab|a|b|”是“ab”的充分而不必要条件7某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为()第7题图A1 B.C. D2第7题图解析：选C.根据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥VABCD，其中VB平面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，VB1.所以四棱锥中最长棱为VD.连接BD，易知BD，在RtVBD中，VD.8某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两
3、次加油时的情况.加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2015年5月1日1235 0002015年5月15日4835 600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为()A6升 B8升C10升 D12升解析：选B.因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35 60035 000600(千米)，故每100千米平均耗油量为4868(升)第卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上)9复数i(1i)的实部为_解析：因为i(1i)ii21i，所以实部为1.答案：11023,3，
4、log25三个数中最大的数是_解析：因为231,13log242，所以三个数中最大的数是log25.答案：log2511在ABC中，a3，b，A，则B_.解析：在ABC中，根据正弦定理，有，可得sin B.因为A为钝角，所以B.答案：12已知(2,0)是双曲线x21(b0)的一个焦点，则b_.解析：由题意得，双曲线焦点在x轴上，且c2.根据双曲线的标准方程，可知a21.又c2a2b2，所以b23.又b0，所以b.答案：第13题图13如图，ABC及其内部的点组成的集合记为D，P(x，y)为D中任意一点，则z2x3y的最大值为_解析：把z2x3y变形为yxz，通过平移直线yx知，当过点A(2,1)
5、时，z2x3y取得最大值且zmax22317.答案：714高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生 (原题图片不清，此图仅作为参考)第14题图从这次考试成绩看，在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是_；在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是_答案：乙数学三、解答题(本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15(本小题满分13分)已知函数f(x)sin x2sin2.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最小值解：(1)因为f(x)
6、sin xcos x2sin，所以f(x)的最小正周期为2.(2)因为0x，所以x.当x，即x时，f(x)取得最小值所以f(x)在区间上的最小值为f.16(本小题满分13分)已知等差数列an满足a1a210，a4a32.(1)求an的通项公式；(2)设等比数列bn满足b2a3，b3a7，问：b6与数列an的第几项相等？解：(1)设等差数列an的公差为d.因为a4a32，所以d2.又因为a1a210，所以2a1d10，故a14.所以an42(n1)2n2 (n1,2，)(2)设等比数列bn的公比为q.因为b2a38，b3a716，所以q2，b14.所以b64261128.由1282n2得n63，
7、所以b6与数列an的第63项相等17(本小题满分13分)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买，“”表示未购买. 商品顾客人数甲乙丙丁1002172003008598(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解：(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购
8、买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为0.1，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大第18题图18(本小题满分14分)如图，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且ACBC，O，M分别为AB，VA的中点(1)求证：VB平面MOC；(2)求证：平面MOC平面VAB；(3)求三棱锥VABC的体积解：(
9、1)证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OMVB.又因为VB平面MOC，所以VB平面MOC.(2)证明：因为ACBC，O为AB的中点，所以OCAB.又因为平面VAB平面ABC，且OC平面ABC，所以OC平面VAB.所以平面MOC平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，ACBC，所以AB2，OC1.所以等边三角形VAB的面积SVAB.又因为OC平面VAB，所以三棱锥CVAB的体积等于OCSVAB.又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等，所以三棱锥VABC的体积为.19(本小题满分13分)设函数f(x)kln x，k0.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若f(
10、x)存在零点，则f(x)在区间(1，上仅有一个零点解：(1)由f(x)kln x(k0)，得x0且f(x)x.由f(x)0，解得x(负值舍去)f(x)与f(x)在区间(0，)上的情况如下：x(0，)(，)f(x)0f(x)所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，)f(x)在x处取得极小值f().(2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，)上的最小值为f().因为f(x)存在零点，所以0，从而ke.当ke时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f()0，所以x是f(x)在区间(1，上的唯一零点当ke时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f(1)0，f()0，所以f(x)在区
11、间(1，上仅有一个零点综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，上仅有一个零点20(本小题满分14分)已知椭圆C：x23y23，过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x3交于点M.(1)求椭圆C的离心率；(2)若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由解：(1)椭圆C的标准方程为y21，所以a，b1，c.所以椭圆C的离心率e.(2)因为AB过点D(1,0)且垂直于x轴，所以可设A(1，y1)，B(1，y1)，直线AE的方程为y1(1y1)(x2)令x3，得M(3,2y1)所以直线BM的斜率kBM1.(3)直线BM与直线DE平行理由如下：当直线AB的斜率不存在时，由(2)可知kBM1.又因为直线DE的斜率kDE1，所以BMDE.当直线AB的斜率存在时，设其方程为yk(x1)(k1)设A(x1，
