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1、2015年普通高等学校招生全国统一考试全 国 卷 (文科)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟第卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2015高考全国卷)已知集合Ax|x3n2，nN，B6,8,10,12,14，则集合AB中元素的个数为()A5B4C3 D2解析：选D.集合A中元素满足x3n2，nN，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.故选D.2(2015高考全国卷)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，则向量()A(7，4) B(7,4)C(1,4)
2、 D(1,4)解析：选A.法一：设C(x，y)，则(x，y1)(4，3)，所以从而(4，2)(3,2)(7，4)故选A.法二：(3,2)(0,1)(3,1)，(4，3)(3,1)(7，4)故选A.3(2015高考全国卷)已知复数z满足(z1)i1i，则z()A2i B2iC2i D2i解析：选C. (z1)ii1， z11i， z2i，故选C.4(2015高考全国卷)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为()A. B.C. D.解析：选C.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下1
3、0个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为.故选C.5(2015高考全国卷)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y28x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|()A3 B6C9 D12解析：选B.抛物线y28x的焦点为(2,0)， 椭圆中c2，又， a4，b2a2c212，从而椭圆方程为1. 抛物线y28x的准线为x2， xAxB2，将xA2代入椭圆方程可得|yA|3，由图象可知|A
4、B|2|yA|6.故选B.第6题图6(2015高考全国卷)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A14斛 B22斛C36斛 D66斛解析：同理科卷6题答案：B7(2015高考全国卷)已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和，若S84S4，则a10()A. B.C10 D12解析：选B. 公差为1， S8
5、8a118a128，S44a16. S84S4， 8a1284(4a16)，解得a1， a10a19d9.故选B.8(2015高考全国卷)函数f(x)cos(x)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ解析：同理科卷8题答案：D第8题图第9题图9(2015高考全国卷)执行如图所示的程序框图，如果输入的t0.01，则输出的n()A5 B6C7 D8解析：同理科卷9题答案：C10(2015高考全国卷)已知函数f(x)且f(a)3，则f(6a)()A BC D解析：选A.由于f(a)3，若a1，则2a123，整理得2a11.由于2x0，所以2a11无
6、解；若a1，则log2(a1)3，解得a18，a7，所以f(6a)f(1)2112.综上所述，f(6a).故选A.第11题图11(2015高考全国卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为1620，则r()A1 B2C4 D8解析：同理科卷11题答案：B12(2015高考全国卷)设函数yf(x)的图象与y2xa的图象关于直线yx对称，且f(2)f(4)1，则a()A1 B1C2 D4解析：选C.设(x，y)为yf(x)图象上任意一点，则(y，x)在y2xa的图象上，所以有x2ya，从而有yalog2(x)(指数式
7、与对数式的互化)，所以yalog2(x)，即f(x)alog2(x)，所以f(2)f(4)(alog22)(alog24)(a1)(a2)1，解得a2.故选C.第卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13(2015高考全国卷)在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前n项和若Sn126，则n_.解析： a12，an12an， 数列an是首项为2，公比为2的等比数列又 Sn126， 126， n6.答案：614(2015高考全国卷)已知函数f(x)ax3x1的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则a_.解析： f(x)3ax21， f(1)3a
8、1.又f(1)a2， 切线方程为y(a2)(3a1)(x1) 切线过点(2,7)， 7(a2)3a1，解得a1.答案：115(2015高考全国卷)若x，y满足约束条件则z3xy的最大值为_第15题图解析：画出可行域(如图所示) z3xy， y3xz. 直线y3xz在y轴上截距最大时，即直线过点B时，z取得最大值由解得B(1,1)， zmax3114.答案：416(2015高考全国卷)已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)当APF周长最小时，该三角形的面积为_第16题图解析：由双曲线方程x21可知，a1，c3，故F(3,0)，F1(3,0)当点P在双曲线左支上运动时，
9、由双曲线定义知|PF|PF1|2，所以|PF|PF1|2，从而APF的周长|AP|PF|AF|AP|PF1|2|AF|.因为|AF| 15为定值，所以当(|AP|PF1|)最小时，APF的周长最小，由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)由题意可知直线AF1的方程为y2x6，由得y26y960，解得y2或y8(舍去)，所以SAPFSAF1FSPF1F666212.答案：12三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(2015高考全国卷)(本小题满分12分)已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，sin2B2sin Asin C.(1)若ab，求cos
10、B；(2)设B90，且a，求ABC的面积解：(1)由题设及正弦定理可得b22ac.又ab，可得b2c，a2c.由余弦定理可得cos B.(2)由(1)知b22ac.因为B90，由勾股定理得a2c2b2，故a2c22ac，进而可得ca.所以ABC的面积为1.第18题图18(2015高考全国卷)(本小题满分12分)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD.(1)证明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120，AEEC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积解：(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为BE平面ABCD，所以ACBE.故AC平面BED.又
11、AC平面AEC，所以平面AEC平面BED.(2)设ABx，在菱形ABCD中，由ABC120，可得AGGCx，GBGD.因为AEEC，所以在RtAEC中，可得EGx.由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BEx.由已知得，三棱锥EACD的体积V三棱锥EACDACGDBEx3，故x2.从而可得AEECED.所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥EACD的侧面积为32.19(2015高考全国卷)(本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响对近8年的年宣传费xi和年销售
12、量yi(i1,2，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值第19题图xi)2wi)2xi)(yi)wi)(yi)46.65636.8289.81.61 469108.8表中wi，i.(1)根据散点图判断，yabx与ycd哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z0.2yx.根据(2)的结果回答下列问题：年宣传费x49时，年销售量及年利润的预报值是多少？年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回归直线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为， .解：同理科卷19题20(2015高考全国卷)(本小题满分12分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点(1)求k的取值范围；(2)若12，其中O为坐标原点，求|MN|.解：(1)由题设可知直线l的方程为ykx1.因为直线l与圆C交于两点，所以1，解得k.所以k的取值范围为.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)将ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.所以x1x2，x1x2.x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x
