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1、层次分析方法,层次分析方法,层次分析方法是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。它能够很好的将半定性、半定量问题转化为定量问题，使人们的思维过程层次化。通过逐层比较多种关联因素来为分析、决策、预测或控制事物的发展提供定量依据。它特别适用于那些难以完全用定量进行分析的复杂问题，为解决这类问题提供一种简便实用的方法。,利用层次分析方法解决问题的基本步骤如下：,分析系统中各种因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构。一般层次结构分为三层：目标层、准则层、方案层； 构造两两比较矩阵（判断矩阵）。对于同一层次的各因素关于上一层中某一准则（目标）的重要性进行两两比较，构造出两两比较的判断矩阵；
2、 由比较矩阵计算被比较因素对上一层每一准则的相对权重，并进行判断矩阵的一致性检验； 计算方案层对目标层的组合权重和组合一致性检验，并进行排序。,一、建立层次结构图,利用层次分析法研究问题时，首先要把与问题有关的各种因素层次化，然后构造出一个树状结构的层次结构模型，称为层次结构图。 一般问题的层次结构图分为三层： 目标层（O）：问题决策的目标或理想结果，只有一个元素。 准则层（C）：为实现目标所涉及的中间环节各因素，每一因素 为一准则，当准则多于9 个时可分为若干子层。 方案层（P）：为实现目标而供选择的各种措施，即决策方案。,决策目标（O）,准则（）,准则 2 （）,准则（）,目标层,子准则（
3、）,子准则（）,子准则（）,方案（）,方案（）,方案n（）,注: 一般说来，各层次之间的各因素，有的相关联，有的不一定相关联；各层次的因素个数也未必一定相同。实际中，主要是根据问题的性质和各相关因素的类别来确定。,二、构造比较矩阵,构造比较矩阵主要是通过比较同一层次上的各因素对上一层相关因素的影响作用，而不是把所有因素放在一起比较，即将同一层的各因素进行两两对比。比较时采用相对尺度标准度量，尽可能地避免不同性质的因素之间相互比较的困难。同时，要尽量依据实际问题本身，减少由于决策人主观因素对结果造成的影响。,方法 ：,对上一层（如目标层）O,的影响程度，即要确定它们在O 中所占的比重。对任意两,
4、个因素,和,，用,表示,和,对O 的,影响,程度,之比，按19 的比例标度来度量,(i ,j =1,2,n ) 。,于是，可得到两两成对比较矩阵 A =,，又称,为,判断矩阵。,，,，,(i ,j =1,2,n ),设要比较n 个因素,较矩,由上述矩阵元素特征，故又称比,阵为,正互反矩阵。,比例标度的确定：,取19 的 9,个等级，,而,取,的倒数，如下表所示：,标度,含义,1,与,的影响相同,3,5,7,9,2，4，6，8,比,比,的影响稍强,的影响强,比,的影响明显的强,比,的影响绝对的强,与,的影响之比在上述两个相邻等级之间,与,的影响之比为上面,的互反数,若判断矩阵A 的元素具有传递性
5、，,即满足,(i ,j, k =1,2,n ),则称A 为一致性矩阵，,简称一致阵。,三、相对权重向量确定,1、和法,取判断矩阵n 个列向量归一化后行的算术,平均值，,(i =1,2,n ),近似作为权重，即,类似地，也可以对n 个,行向量归一化后,取列的算术平,均值近似作为相应权重。,2、求根法（几何平均法）,将A 的各行（或列）向量求几何平均后归,一化，可以近似作,为权重，即,， (i =1,2,n ),3、特征根法,引例. 设想把一大石头分成 n 个小块,，其重量分别为,，,则,将n 块小石头作两两比较，记,的相对,重量为,(i ,j =1,2,n )，,于是可得到,比,较矩阵,显然，A
6、 为一致性正互反矩阵，,记,，即为,则,权重向量，且,这表明W 为其判断矩阵A 的特征向量，,且n 为特,结论：对于一般的判断矩阵A,，设,=,，则,取W 为其拟权重向量，其中,为A 的较大特征根，,W,为对应于,的A 的特征向量。,将W 作归一化后近似地作为A 的权重向量，,这种,方法称为特征根法（这是最常,用的方法）。,征根。,由代数的知识可知，如果A 为一致,的正互反矩阵，,则有下列性质：,1、,，即A 的每一行（列）,均为任一,指定行（列）的整数倍；,2、A 的最大特征根为,，其余的特征,根均,为0；,3、若A =,的最大特征根,对应的特,征向量为,则,（i ,j =1,2,n ）,由
7、于通常情况下由实际得到的判断矩阵,A,0，,所以有以下两个重要定理。,Th1、设n 阶方阵A,，,为A 的最大特征根，则,(1),，而且它所对应的特征向量为正向量；,（2）,为A 的单特征根，且,（3）,对应的特征向量除差一个常数,因子外是,唯一的。,Th2、n 阶正互反矩阵 A =,是一致阵的,充要,条件是,四、一致性检验,通常情况下，由实际得到的判断矩阵不一定是,一致的，即不一定满足传递性或一致,性。实际中，,也不必要求一致性绝对成立，但要求大体上是一致,的即可，即不一致的程度应在容许的范围内，,主要,（1）、一致性指标：,考察以下指标。,（2）、随机一致性指标：RI，通常由实际经验,给定
8、,的，如下表,（3）、一致性比率指标：,，当CR 0.10,时， 认为判断矩阵的一致性是可以接,受的，则,对应的判断向量可以作为排序的权重向量，此时,其中,表示AW 的第i 个分量。,五、计算组合权重和组合一致性检验,1、组合权重向量,设第 k-1层上,的元素对总目标（最高层）,的,排序权重向量为,第k 层上,个元素对上一层（第k -1层）,上第j 个,元素的权重向量为, j =1, 2 ,则矩阵,是,阶矩阵，表示第k 层上的元素对第,k-1层,各元素的排序权向量。则第k 层上,的元素对目标层,（最高层）总排序权重向量为,=,或,，i =1,2,对任意的k,0有一般公式,(k,2),其中,是第二层上各元素对目标层的总排序向量。,2、组合一致性指标,设第k 层的一致性指标为,，,随机一致性指标为,，则第k 层,对目标层（最高层）的组合一致性指标为,组合随机一致性指标为,组合一致性比率指标为,( k,3 ),当,0.10时，则认为整个层次的,判断矩阵,通过一致性检验。,
