寿险概论计算分析课件

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1、第二、三篇,实验五：人寿保险费额计算问题,人寿保险费额计算问题 (Matlab),实验5,、问题,有一个现年x岁的人，要购买一份保险金额为5万元的终身寿险保单。 所谓终身人寿保险，即在投保人未来任何时候死亡时，都提供投保金额（本例为5万元）的赔付的一种保险。 为此，他从契约成立时开始，在一定期限内，每年需向保险公司缴纳固定数额的保费，称这个保费为均衡年缴保费。,（1）设年缴保费在整个生存期自契约成立开始 每年年初缴付，保费在死亡那年的年末赔付，试 计算年缴保费以及保险公司亏损的变易程度。 （2）假如有100份这种相互独立的保单，确定年 缴保费的近似值，使得总盈利的概率为0.95 （即亏损为正的

2、概率等于0.05）。 设年利率为常数6%，计算中所用数据以所附示例 生命表为依据。,二、实验目的,1概率论，利用概率论中的期望、方差与中心 极限定理。 2. 人寿保险等相关知识。,本实验主要涉及概率论，利用概率论中的期望、 方差与中心极限定理以及人寿保险等相关知识， 给出了计算人寿保险费的一些方法。,三、预备知识,。,四、实验内容与要求,了解两个原则，并确定净均衡年缴保费 。,即E(L)0可确定年缴保费 ，,即有,其中：,原则 1 (等价原则)由,原则 2 设是给定的正数，由L0的概率不超 过，即按 P(L0)确定一个最小的,年保费精算现值,年缴保费现值和等于1+v+v2+vk,2.利用上述两

3、个原则解决： 确定年缴保费以及保险公司亏损的变易程 度。 (2) 设有100份这种相互独立的保单，确定年缴 保费的近似值，使得总盈利的概率为0.95 （即亏损为正的概率等于0.05）。 设年利率为常数6%，计算中所用数据以所附 示例生命表为依据。,五、 模型分析与操作提示,1、引入概念与问题分析,(1) 基本概念 我们知道，人寿保险不过是投保人用现时的支付去换取保险人未来给付的一种交易。被保险人为获得一定的保险金，必须支付保险费。保险费通常由两部分组成： 一部分作为保险人保险给付金的来源，是被保险人为自己将来得到保险金额的支出，称为纯保费。净保费可在投保时一次付清，称之为趸缴纯保费。,另一部分

4、是补偿保险人在经营管理上必要开支 的费用，称为附加保险费。 本实验讨论的保费，仅指纯保费。 由于保费与受益往往不是同时发生的，受利息 的影响，无法从它们的绝对数值比较两者的大 小，通常根据利息，将它们都化成现时值，简 称现值。,但通常是在保险契约成立后一定时期内分期均 衡缴付的，这种方式缴纳的净保费称为均衡纯 保费。,记,类似地，要使得在t年末的积累为1，现时的投资值应为,称为t年末支付1的现值。,现值的概念如下： 若投保额为1,年利率为i,1年末，本利和为1i。两年末，本利和按复利计算为,如此继续下去，第k年末，本利总额为,现提出相反的问题：如果要使得1年未的本利和 为1，现在应该投资多少？

5、显然为,称为贴现因子,在利息理论中，还称满足e=1+i的常数为与i等价的利息效力（或称利力）。 由于给付的不确定和利率变化的不确定，被保险人的受益额与保费都要按利息理论转换成现值。受益额现值与保费现值都是随机变量，其差记为L，称为保险人的（潜在）亏损随机变量，保险公司一般根据L确定年缴保费。,可以将它看作随机变量T(x)的一个可能的取值。 在人寿保险中，用(x)表示年龄x的投保人，T(x) 称为(x)的剩余寿命。,(2) 受益赔付额现值 事实上，在保单签发时我们并不知道被保险人何时死亡，因此从保单签发到被保人死亡的时间长度是一个随机变量，若一个x岁的被保险人在死亡时得到1单位的赔付，按复利，它

6、的现值与从投保开始到死亡所经历的时间t( )有关，,可以认为T(x)是连续型随机变量。记,=常数，年末受益赔付金额的现值为,它可以看作是随机变量,的一个取值。,为从赔付时刻回溯到保单签发时的利息贴现因子，称为贴现函数.,是赔付的给付金额，称为受益函数。假定利率为常数,则 ,在终身人寿保险中，,在寿险实践中，通常取Z的期望E(Z)，即平均值作 为赔付为1单位的现值，相应的趸缴纯保费记为,则,其中g(t)是T的概率密度函数，在寿险理论中使 用的符号与概率论中有所不同，下面是寿险中常 用的概念和符号，本实验采用的都是精算数学中 的通用符号：,F(x)P(X),1),死亡的概率。若记人的死亡年龄为X，

7、显然它是 连续型随机变量，其分布函数设为F(x)，,即x岁的人在以后的t年内,X ；F(0)0,在精算学中，常用生存函数s(x) s(x)=1-F(x)=P(X x)，,s(0)=1,由概率论知识:,2）,它表示现年为x岁的人，至少活到x+t岁的概率。,在保险理论中规定，t1时可以省略不写，即,3）而现年为x岁的人，已活过了t年而在其后的 u年内死亡的概率可表示为,4),称之为死亡效力（或瞬时死亡率）。由积分，,生存函数也可用死力表示。于是,如果用G(t)表示T(x)的分布函数，则,代入趸缴纯保费，则表示为,它依赖于被保险人的剩余寿命T(t)的概率密度函 数g(t)=,，利力,而关于T(t)的

8、概率分布的信息，通常来自于离散形式的生命表（生命表是利用概率统计方法制定的表格形式的生存模型）。因此，在寿险实践中，一般使用离散型随机变量。当死亡效力为常数 也为常数，可以计算出单位保费,的n年定期寿险、终身寿险和延期m年终身寿险 的净趸缴保费。,由于利力,，所以,令,得:,而延期m年终身寿险的趸缴纯保费,于是,随着人寿保险业的发展，人们积累了大量死亡规 律的统计数据。但这些数据列成表格反映了寿命 分布。这就是生命表。 下面给出美国1979-1981年国民生命表作为示例：(参阅保险精算技术P.9),年龄x 死亡率,生存人数,死亡人数,01 0.01260 100000 1260 12 0.00

9、093 98740 92 23 0.00065 98648 64 34 0.00050 98548 49 109110 0.35988 33 12,3.基本生命表,表中 100000，表示100000个新生命组成的 群体。1岁以内死亡的概率,1岁时预计生存人数为,如此进行下去，由,可依次算出表中的,和,的值。如x岁的人到x+k岁仍活着概率：,例如，由生命表计算30岁的人的以下概率： 活过80岁的概率：,在五年之内死亡的概率：,在60岁死亡的概率：,，则纯保费的现值是,4.终身人寿保险的亏损随机变量L(x) 对于在x岁购买的单位保额终身寿险，其保险给付的现值为,其中k为（x）的取整余命。我们将各

10、期保费中的 均衡纯保费记为,按照亏损随机变量L的定义，,L,保险给付现值减 去纯保费的现值,根据精算等价原理，保险给付的现值应当与纯保 费收入的现值有相同的数学期望，即有： 原则 1（等价原理） 由,，即E(L)0可确定年缴保费,，即有,原则 2 设是给定的正数，由L0的概率不超 过，即按 P(L0)确定一个最小的,在保险实践中，常用L的方差来衡量损失的程度 （称为变易程度）。,2、保费与亏损方差的计算,下面按上述两个原则解决开始提出的实际问题。 （1）利用等价原理计算 由,得年均衡纯保费,以1万元为一个投保单位，设年缴保费为,则记,按所附生命表算得：,由,故,这时：,所以方差,算得,由于,所

11、以,相当于按利息效力2计算的趸缴纯保费，,即,所以,（2）利用原则2计算 在这里我们假定=0.5,又设的年缴保费为,的最小,及相应的方差,即,应该求满足,由生命表查得：,反查生命表可知，该数介于,之间，77-35=42，故必有 P(K42)0.5 取 使得,可算得,=0.005031(元),类似于原则1，可得,。在年缴保费为 时，,一个保单的亏损为,（3） 100份独立保单年缴保费的计算 设年缴保费为,对于100份保单，设第i份保单的亏损为,，i=1,2, ,100,总亏损为S,则,为100个相互独立随机变量之和,E(S)=100,100Var,由概率论的中心极限定理， S可近似地看作为SN(

12、E(S),Vsr(S)的正态分布， 故,查标准正态分布函数表，可得,应由P(S0)=0.05确定。,即有：,整理得：,代入d:,解出,以上讨论的是离散型终身寿险，各种不同的人寿 保险所计算的年缴保费的公式会不一样。,六、上机练习,1.按所示生命表，编出0岁到105岁的净趸缴保费,（利用数学软件或编程计算）。,2利用问题1的结果，按原则1计算，列出0岁 到50岁的完全离散人寿保险的赔付金额为1万元的年缴保费。,3利用问题1的结果，按原则2计算，列出0岁到50岁的完全离散人寿保险的赔付金额为1万元的年缴保费。,4. 一个40岁的男子投保了保险金额为20000元的 终身人寿保险，假设年利率为i6%，保险金在 死亡年末赔付，依据所附的生命表计算： 保险费在整个生存期缴付的年缴保费与保险 公司亏损的变易程度； (2)保险费在10年内缴付的年缴保费与保险公司 亏损的变易程度。,(任选一题!),