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1、一、与定积分概念有关的问题的解法,1. 用定积分概念与性质求极限,2. 用定积分性质估值,3. 与变限积分有关的问题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 求,解: 因为,时,所以,利用夹逼准则得,因为,依赖于,且,1) 思考例1下列做法对吗 ?,利用积分中值定理,原式,不对 !,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,2) 此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项 .,如, P265 题4,解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：,已知,利用夹逼准则可知,(考研98 ),例2. 求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考:,提示:由上题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,
2、练习: 1.,求极限,解：,原式,2. 求极限,提示：,原式,左边,= 右边,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,估计下列积分值,解: 因为,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 证明,证: 令,则,令,得,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.,设,在,上是单调递减的连续函数，,试证,都有不等式,证明：显然,时结论成立.,(用积分中值定理),当,时,故所给不等式成立 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,明对于任何,例6.,解：,且由方程,确定 y 是 x 的函数 , 求,方程两端对 x 求导, 得,令 x = 1, 得,再对 y 求导, 得,机动 目录 上页 下
3、页 返回 结束,故,例7.,求可微函数 f (x) 使满足,解: 等式两边对 x 求导, 得,不妨设 f (x)0,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意 f (0) = 0, 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8. 求多项式 f (x) 使它满足方程,解: 令,则,代入原方程得,两边求导:,可见 f (x) 应为二次多项式 ,设,代入 式比较同次幂系数 , 得,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,再求导:,二、有关定积分计算和证明的方法,1. 熟练运用定积分计算的常用公式和方法,2. 注意特殊形式定积分的计算,3. 利用各种积分技巧计算定积分,4. 有关定积分命题的证明方法
4、,思考: 下列作法是否正确?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9. 求,解: 令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10. 求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例11. 选择一个常数 c , 使,解: 令,则,因为被积函数为奇函数 , 故选择 c 使,即,可使原式为 0 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例12. 设,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例13. 若,解: 令,试证 :,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因为,对右端第二个积分令,综上所述,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例14. 证明恒等式,证: 令,则,因此,又,故所证等式
5、成立 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例15.,试证,使,分析:,要证,即,故作辅助函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,至少存在一点,证明: 令,在,上连续,在,至少,使,即,因在,上,连续且不为0 ,从而不变号,因此,故所证等式成立 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故由罗尔定理知 ,存在一点,思考: 本题能否用柯西中值定理证明 ?,如果能, 怎样设辅助函数?,提示:,设辅助函数,例15 目录 上页 下页 返回 结束,例16.,设函数 f (x) 在a, b 上连续,在(a, b) 内可导, 且,(1) 在(a, b) 内 f (x) 0 ;,(2) 在(a, b) 内存
6、在点 , 使,(3) 在(a, b) 内存在与 相异的点 , 使,(03考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,证: (1),由 f (x)在a, b上连续,知 f (a) = 0.,所以f (x),在(a, b)内单调增,因此,(2) 设,满足柯西中值定理条件,于是存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即,(3) 因,在a, 上用拉格朗日中值定理,代入(2)中结论得,因此得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例17. 设,证: 设,且,试证 :,则,故 F(x) 单调不减 ,即 成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 求抛物线,在(0,1) 内的一条切线, 使它与,两坐
7、标轴和抛物线所围图形的面积最小.,解: 设抛物线上切点为,则该点处的切线方程为,它与 x , y 轴的交点分别为,所指面积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,且为最小点 .,故所求切线为,得 0 , 1 上的唯一驻点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 设非负函数,曲线,与直线,及坐标轴所围图形,(1) 求函数,(2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体,解: (1),由方程得,面积为 2 ,体积最小 ?,即,故得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,又,(2) 旋转体体积,又,为唯一极小点,因此,时 V 取最小值 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 证明曲
8、边扇形,绕极轴,证: 先求,上微曲边扇形,绕极轴旋转而成的体积,体积微元,故,旋转而成的体积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故所求旋转体体积为,例4. 求由,与,所围区域绕,旋转所得旋转体体积.,解: 曲线与直线的交点坐标为,曲线上任一点,到直线,的距离为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 半径为 R , 密度为,的球沉入深为H ( H 2 R ),的水池底, 水的密度,多少功 ?,解:,建立坐标系如图 .,则对应,上球的薄片提到水面上的微功为,提出水面后的微功为,现将其从水池中取出, 需做,微元体积,所受重力,上升高度,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因此微功元素为
9、,球从水中提出所做的功为,“偶倍奇零”,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 设有半径为 R 的半球形容器如图.,(1) 以每秒 a 升的速度向空容器中注水, 求水深为,为h (0 h R ) 时水面上升的速度 .,(2) 设容器中已注满水 , 求将其全部抽出所做的功最,少应为多少 ?,解: 过球心的纵截面建立坐标系如图.,则半圆方程为,设经过 t 秒容器内水深为h ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1) 求,由题设, 经过 t 秒后容器内的水量为,而高为 h 的球缺的体积为,半球可看作半圆 绕 y 轴旋转而成,体积元素:,故有,两边对 t 求导, 得,at (升) ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2) 将满池水全部抽出所做的最少功,为将全部水提,对应于,微元体积:,微元的重力 :,薄层所需的功元素,故所求功为,到池沿高度所需的功.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
