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1、,2020年人教A版普通高中数学教科书 “几何与代数”主题教材解读,几何、代数都是高中数学课程的传统内容，普通高中数学课程标准（2017年版）（以下简称标准(2017年版)）中规定，高中数学课程中的几何与代数的内容包括：立体几何、平面解析几何、平面向量（包括解三角形）、空间向量、复数。无论是必修课程，还是选择性必修课程、选修课程，几何与代数主题都贯穿始终。几何与代数是高中数学课程的主线之一。在必修课程与选择性必修课程中，突出几何直观与代数运算之间的融合，即通过形与数的结合，感悟数学知识之间的关联，加强对数学整体性的理解。 通过几何与代数主题的学习提升直观想象、逻辑推理、数学运算、数学建模和数学
2、抽象素养。,一、几何与代数主题的内容、要求及安排 按照标准（2017年版）的要求，高中数学必修、选择性必修课程中，几何与代数主题内容和要求如下。,3,（一）立体几何初步 立体几何研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系。“立体几何初步”以长方体为载体，认识和理解空间点、直 线、平面的位置关系；用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证；了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法；运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等认识和探索空间图形的性质，建立空间观念。 内容包括：基本立体图形、基本图形位置关系、*几何学的发展。,具体要求为： （1）基本立体图形 认识柱、锥、台、球
3、及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。 知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题。 能用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图。,（2）基本图形位置关系 借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，了解平面三公理、平行公理及其推论。 从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系，归纳出性质定理，并加以证明。 从上述定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空
4、间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系，归纳出判定定理。 能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题。 （3）*了解几何学的发展,（二）向量 向量理论具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景。向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁。向量是描述直线、曲线、平面、曲面以及高维空间数学问题的基本工具，是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础，在解决实际问题中发挥重要作用。高中向量的内容包括：向量的概念、向量的运算（包括线性运算、数量积）、向量的投影与投影向量、向量基本定理及坐标表示、向量应用（包括解决现实生活、数学和物理中的问题）。,1.平面向量及其应用
5、理解平面向量的几何意义和代数意义；掌握平面向量的概念、运算、向量基本定理以及向量的应用；用向量语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题。 内容包括：向量概念、向量运算、向量基本定理及坐标表示、 向量应用。具体要求如下。 （1）向量概念 了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义；理解平面向量的几何表示和基本要素。,（2）向量运算 掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义；掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义。理解两个平面向量共线的含义。了解平面向量的线性运算性质及其几何意义。理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积。了解平面向量
6、投影的概念以及投影向量的意义。会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。,（3）向量基本定理及坐标表示 理解平面向量基本定理及其意义。掌握平面向量的正交分解及坐标表示。会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算。能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角。能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件。 （4）向量应用与解三角形 会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用。借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理。能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题。,2.空间向量与立体几何 在学习平面向量的基础上，利用类比的
7、方法理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平 面向量和空间向量的共性和差异；运用向量的方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系，体会向量方法和综合几何方法的共性和 差异；运用向量方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟向量是研究几何问题的有效工具。 内容包括：空间直角坐标系、空间向量及其运算、向量基本定 理及坐标表示、空间向量的应用。,具体要求如下。 （1）空间向量及其运算 经历将平面向量的概念、运算、投影的概念推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算和数量积运算，了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义 （2）了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解
8、 （3）了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置，探索并得出空间两点间的距离公式掌握空间向量的坐标表示，掌握空间向量的线性运算和数量积运算的坐标表示,（4）能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量；能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用,（三）复数 通过方程求解，理解引入复数的必要性，了
9、解数系的扩充，掌握复数的表示、运算及其几何意义。内容包括：复数的概念、复数的运算、*复数的三角表示。具体要求如下。 （1）通过方程的解，认识复数；理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义。 (2）掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何 意义。 （3）*通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系，了解复数乘、除运算的三角表示及其 几何意义。,（四）平面解析几何 在平面直角坐标系中，认识直线、 圆、椭圆、抛物线、双曲线的几何特征，建立它们的标准方程；运用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系；运用平面解析几何方法解决简单
10、的数学问题和实际问题，感悟平面解析几何中蕴含的数学思想。 内容包括：直线与方程、圆与方程、圆锥曲线与方程、平面解析几何的形成与发展。,具体要求如下。 对于“直线和圆的方程”，在平面直角坐标系中，探索确定直线位置和圆的几何要素；用代数方法刻画直线的斜率、两点间的距离。在此基础上，建立直线和圆的方程；用方程研究两条直线的位置关系、交点坐标、点到直线的距离，以及直线与圆、圆与圆的位置关系；解决简单的数学问题和实际问题，初步感悟平面解析几何蕴含的数学思想。 “圆锥曲线的方程”在“直线和圆的方程”的基础上，让学生了解圆锥曲线的背景与应用；帮助学生在平面直角坐标系中，认识椭圆、抛物线、双曲线的几何特征，建
11、立它们的标准方程；运用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系；运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题，进一步感悟平面解析几何中蕴含的数学思想。,对于几何与代数主题，教科书遵循标准（2017年版）的结构，安排了如下6章内容： 必修第二册： 第六章 平面向量及其应用（18） 第七章 复数（8） 第八章 立体几何初步（19） 选择性必修第一册： 第一章 空间向量与立体几何（15） 第二章直线和圆的方程（16） 第三章圆锥曲线的方程（12）,二、用向量“统领”几何与代数主题内容 充分认识向量的地位，发挥向量的作用 平面向量：研究平面几何问题（包括解三角形） 空间向量：研究立体几何
12、中的位置关系、度量关系 解析几何：向量法是解析几何的返璞归真，是不依赖坐标系的解析几何。(尽管向量法的诞生晚于坐标法） 复数：用向量理解复数的表示（尤其是是三角表示）及其运算 向量具有统领作用,几何与代数主题逻辑结构图,三、构建几何与代数主题研究框架，整体设计研究路径 合理的研究框架和内容的逻辑结构是教科书育人的载体。对于每一个学习内容，特别是对于学习主题，构建相应的研究框架，整体设计研究路径，是教材编写首要考虑的问题。在此基础上，再有逻辑地、循序渐进地展开具体内容。“数学是自然的。数学概念、数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的。数学中每一个概念，它的背景、它的形成过程，它的应用，以及它与
13、其他概念的联系，实际上是水到渠成、浑然天成的产物”。符合数学自身发生发展过程的自然逻辑结构和学生心理特点的研究框架和研究路径，有助于学生明确研究问题的方向和起点、了解数学研究问题的方式、提高学习质量和效益、提升学生发现和提出问题的能力。,重视立体几几何（直观想象、逻辑推理）、代数（运算）、解析几何（坐标法）各自的特点 跨章的内容的共性设计研究路径与框架 1.向量的研究路径与框架 向量的实际背景及基本概念向量的运算（线性运算、数量积）向量基本定理及坐标表示向量的应用。,具体地 借助位移、力、速度等实例，引入向量的概念，并体现引进向量的必要性。 数学中，“引进一个量，就要看看它的运算;引进一种运算
14、，就要研究它的运算律。”类比数及其运算，引进向量概念后，接着要讨论的问题向量的线性运算(加、 减及数乘)。当然，要注意向量与数的不同，向量运算中，除了考虑大小，还要考虑方向。为了便于学生理解，还要借助于物理中力的合成来定义向量的加法 从运算的角度看，自然要研究两个向量是否可以相乘，如果可以，那么结果怎样？从向量的物理背景中得到启发，定义两个向量的数量积运算，并讨论运算律问题。,从力的分解得到启示，提出把一个向量表示为两个向量的和，进而以向量的加法运算为基础，得出向量基本定理。 从向量基本定理出发，取正交基，建立直角坐标系，引进向量的坐标表示。 “向量的应用”主要是用向量法解决几何问题，特别注意
15、体现向量法的优越性。,2.立体几何（平面几何）研究路径与框架 立体几何：整体局部；综合几何方法向量方法 几何元素的向量表示向量的运算几何结论（研究度量关系与位置关系） 3.平面解析几何的研究路径与框架 坐标法思想方法统领 直线和圆（确定图形的几何要素、建立方程、研究位置关系）圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）（确定图形的几何要素、建立方程、研究性质、研究位置关系） 体现代数的基本研究框架（代数对象代数运算，代数结构） 突出几何直观与代数运算的融合,四、重视研究对象的获得，概念、性质和方法的形成过程 怎么想到的？如何形成的？,研究平面与平面垂直的性质，就是在两个平面垂直的条件下，能推出哪些结论这些
16、结论又该从哪个角度提出呢？实际上就是要研究与这两个互相垂直的平面有关的直线、平面之间的关系 接下来，根据以往的研究经验（平面与平面的关系转化为直线与平面的关系），我们可以研究其中一个平面内的直线与另一个平面的位置关系 一般到特殊，一般情况是相交，考虑其中的特殊情况，一个平面内的直线与交线平行时，这条直线和另一个平面平行（已研究），一个平面内的直线与交线垂直时，这条直线和另一个平面有什么位置关系？ 证明得到平面与平面垂直的性质定理“两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直”。,对于两个平面互相垂直的性质，我们探究了一个平面内的直线与另一个平面的特殊位置关系。如果直线不在两个平面内，或者把直线换成平面，你又能得到哪些结论？ 例如，已知平面平面， 直线a，a，判断a与 的位置关系,渗透了“位置关系的性质”的研究的思想方法 研究基本图形的某种位置关系的性质，就是探索在这种位置关系下的几何图形的组成元素之间以及与其他同类几何图形所形成的位置关系中出现的确定关系（不变性），具体方法是让“其他几何图形”动起来，看“变化中的不变性”。 这就是落实“四
