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1、1 20192020学年高三年级第五次模拟考试 理科数学参考答案 一、选择题（每小题5 分，共计60 分） （1）A （2）C （ 3）C （4）B （5）B （6）D （7）C （8）D （ 9）C （10）A （11） B （12）D 二、填空题（每小题5 分，共计20 分） （13）丙（14）8（ 15） 2 2 （16）3 ； e2a 三、解答题 17解：（ 1）2(1) nn Sna， 11 2 nn Sna2)(n， 相减得 1 2(1) nnn anana， 1 (1) nn nana， 11 1 11 nn aaa nn L， n an （2）2(1)(1) nn Snan n
2、， 1211 2() (1)1 n Sn nnn ， 12 111111112 2(1) 22311 n n n T SSSnnn LL 18解： (1)由直方图， 40 名同学中成绩在50,60)， (90,100之间的同学的人数均为4， X的所有可能取值为0，1，2， 3 3 4 3 8 1 (0) 14 C P X C ， 12 44 3 8 3 (1) 7 C C P X C 21 44 3 8 3 (2) 7 C C P X C ， 3 4 3 8 1 (3) 14 C P X C X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 14 3 7 3 7 1 14 1661 ()01231.5
3、 14141414 E X (2)(i) 55 0.165 0.375 0.485 0.1 95 0.173x (分), 22222 (5573)0.1(6573)0.3(7573)0.4(85 73)0.1 (9573)0.1 1162 2911 s (ii) 由（ i）, 11 (6295)(2 )0.680.960.82 22 PP， 记“ 三名同学中恰有两名同学成绩在区间（62，95）” 为事件 A， 则 22 3 ()0.820.180.36P AC 19解：（1）证明：连接AC交 BD于点O 因为ABCD为菱形，所以ACBD 因为PA平面ABCD，BD平面ABCD， 所以PA BD
4、又由于 PAACAI， PA平面PAC，AC平面PAC， 所以BD平面PAC，又因为PC平面PAC， 所以PCBD （2） 解： 因为PA平面ABCD，AD平面ABCD，AB平面ABCD， 所以PAAD， PAAB，所以PABPAD ，即PB PD 在菱形ABCD中，60ABC，得120BAC，则43BD，又因为 PBPD，所以2 6PBPD在RtPAB中，2 2PA 2 取PC中点E， 连接EO 在PAC中，AC中点O， 所以EO/PA 又因为PA 平面ABCD，所以EO平面ABCD在菱形ABCD中，ACBD 如图，以点O为坐标原点， 分别以向量OB uuu r ，OC uu u r ，OE
5、 uuu r 的方向为x轴，y轴，z轴 的正方向建立空间直角坐标系Oxyz 由题意知，(0,2,0)C，(0, 2,0)A， ( 2 3,0,0)D，(0, 2,2 2)P， 所以(0,0,2 2)AP uuu r ，( 2 3,2,0)AD uuu r ， (2 3,2,0)DC u uu r ，(0, 4,2 2)CP uuu r 设平面 PAD的法向量为 ( , , )mx y z u r ， 则 0, 0, AP m AD m uuu r u r uuu r u r即 0, 30. z xy 所以可取(1, 3,0)m u r 设平面PCD的法向量为( , , )nx y z r ，
6、则 0, 0, DC n CP n uuu r r uuu r r即 30, 220. xy yz 所以可取( 1, 3,6)n r 所以 |10 cos, 10 m n m n mn u r r u r r u rr所以二面角APDC的余弦值为 10 10 20解：（ 1）设动圆圆心,Mx y，则 2 222 44xyx， 化简整理得 2 8yx，故曲线C的轨迹方程为 2 8yx （2）设直线AB方程为xmyn， 由 2 8 xmyn yx 消去x得 2 880ymyn, 所以 22 =64320,20mnmn， 1212 8 ,8yym y yn， 21212 44 22 P xxyy x
7、mnmn， 2 44nm， 22 2420mnm， 2 2m。 22222 121212 |1|1()416432ABmyymyyy ymmn 2222 12 (1)(12864)8 (1)(2)mmmm , 当且仅当 22 12mm，即 2 1 2 m（满足 2 2m）时，取得最大值， 此时 2 ,2 2 mn，直线 2 :20 2 AB xy 21解：（ 1） 21 ( )cos, ( )( )sin ,( )1cos0 2 f xxxh xfxxx h xx， ( )sinfxxx在(,)上为增函数，又(0)0f， (,0)x，(0)0f，( )f x单调递减； (0,)x，(0)0f，
8、( )f x单调递增， min ( )(0)1f xf （2）方法 1：当1a时， 22 cos2121 22 xxxxx exaxeaxex， 设 2 ( )1 2 x x g xex，则( )( )1 x p xg xex，( )1 x p xe， 0 xQ，( )10 x p xe，( )g x单调递增， 又(0)0g，( )10 x g xex，( )g x单调递增， 又(0)0g，( )0g x，cos2( )0 x exaxg x， cos2 x exax， O P A B D C x y z E 3 当1a时，cos2121 xxx exaxeaxeax， 设( )1 x h x
9、eax，则( ) x h xea，令( )0,ln x h xeaxa， (0,ln)xa，( )0 x h xea，( )h x单调递减， 又(0)0h，(0,ln)xa，( )10 x h xeax， cos20 x exax，不合题意 由知实数a的取值范围是1a 方法 2：（分离参数法） 当0 x时， 0 cos020ea成立， 当0 x， cos2 cos2 x x ex exaxa x ， 设 cos2 ( ) x ex F x x (0 x) 22 (sin)(cos2)(1)sincos2 ( ) xxx ex xexxexxx Fx xx 设( )(1)sincos2 x G
10、xxexxx，(0 x)， ( )cos(cos )(1 cos )0 xx G xxexxx exxx( )G x单调递增， 又(0)0G，( )0G x，( )0Fx， ( )F x单调递增， 0 ( )lim( ) x F xF x 000 cos2sin lim( )limlim1 1 xx xxx exex F x x ，1a 方法 3：设( )cos2(0) x g xexaxx， 则( )( )sin x p xg xexa， ( )cos x p xex， 0 xQ，( )0p x，( )p x单调递增， 当1a时，( )(0)=10p xpa，即( )0g x， ( )g x
11、单调递增，( )(0)0g xg恒成立， 当1a时，(0)10pa，(ln(1)1 sin(ln(1)0paa, 0 (0,ln(1)xa,使 00 ()()0p xg x， 0 (0,),xx( )0g x，( )g x单调递减， ( )(0)0g xg，不合题意。 由知实数a的取值范围是1a 22解：（1）曲线 222222 :cos 24,(c4ossin)4,Cyx； 直线l的普通方程为260 xy，极坐标方程为2 cossin60 （ 2）将 5 1 5 2 5 4 5 xt yt 代入 22 4xy中，得 2 318 5950tt， 12 12 +6 5 95 3 tt tt ， 12 ,t t均为正，则 12 =6 5MAMBtt 23解：（1）当1a时，( )2| 10f xxx， 原不等式等价于 2 210 x xx 或 20 210 x xx 或 0 210 x xx ， 解得 3 2 x，解集为 3 | 2 x x （ 2）当02x时，( )213(1)f xxaxax， 依题意有(1)30ax恒成立，则有2(1)30a， 1 2 a， 当2x时，( )21(1)1f xxaxa x， 依题意有(1)10a x恒成立，则有10a，且2(1)10a， 1 2 a， 综上，a的取值范围是 1 (, 2
