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1、第三章 多元回归分析,3.1 模型的假定 3.2 参数的最小二乘估计 3.3 最小二乘估计量的性质 3.4 多元线性回归模型的统计检验 3.5 应用举例,3.1 多元线性回归模型及其假定,回归系数,在前面的多元线性回归模型中， 称为回归系数。 称为偏回归系数（偏效应），它表示在其它自变量保持不变的条件下，该自变量变化一个单位将引起因变量平均变化多少个单位。,3.2 参数的最小二乘估计,拟合值和残差的重要性质 （1）残差的样本均值为0； （2）每个自变量和OLS残差之间的样本协方差为0；拟合值与残差之间的样本协方差也为0； （3）点 总位于OLS回归线上；,3.3 最小二乘估计量的性质,1、线性
2、性,其中,C=(XX)-1 X 为一仅与固定的X有关的行向量,2、无偏性,这里利用了假设: E(X)=0,3、有效性（最小方差性）,其中利用了,和,3.4 多元线性回归模型的统计检验,则,总离差平方和的分解,记 总离差平方和 回归（解释）平方和 残差平方和,由于,=0,所以有：,注意：一个有趣的现象,可决系数,该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。,调整的可决系数（adjusted coefficient of determination）,在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少，所以调整的思路是:将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度的影响
3、:,),1,/(,),/(,1,2,-,-,-,=,n,TSS,k,n,RSS,R,其中：n-k为残差平方和的自由度，n-1为总体平方和的自由度。,对多个线性约束的F检验 不受约束模型（unrestricted model） 假设有q个排除性约束，不防设为自变量中的最后q个，虚拟假设为： 受约束模型（restricted model） 对立假设H1：不正确（即中至少有一个异于0）。定义检验的F统计量,式中RSSr为受约束模型的残差平方和，RSSur为不受约束模型的残差平方和。 分子中使用的自由度df 被检验的约束个数dfr-dfur 即受约束模型与不受约束模型的自由度之差。 分子中使用的自由度
4、df 不受约束模型的自由度n-k 检验不同组之间回归函数（例如k个参数）上差别的邹至庄统计量如下,例：在一个F3，60分布中5%的临界值和拒绝域,例：考虑如下解释主要俱乐部棒球运动员薪水的模型： 式中，salary为1993年的总薪水；years为进入俱乐部的年资；gamesyr为平均每年的比赛次数；bavg为平均职业击球次数；hrunsyr为平均每年的本垒打次数；rbisyr为每年的击球跑垒得分。假设检验的虚拟假设是，一旦控制了俱乐部的年资和每年的比赛次数，度量球员表现的统计指标(bavg、hrunsyr、rbisyr）对薪水没有影响。虚拟假设为,采用Wooldridge中MLB1.RAW数
5、据未受约束的模型估计结果为 从t检验而言， bavg、hrunsyr、rbisyr中没有一个变量在5%的显著性水平上具有一个统计显著的t统计量，但这并不能表明可以拒绝H0，必须估计受约束模型。,受约束模型估计结果为 F统计量为 显著性水平为5%的临界值为2.60，显著性水平为1%的临界值为3.78，所以在1%的显著性水平拒绝bavg、hrunsyr、rbisyr对薪水没有影响的假设。,t统计量,由于,以cii表示矩阵(XX)-1 主对角线上的第i个元素，于是参数估计量的方差为：,其中2为随机误差项的方差，在实际计算时，用它的估计量代替:,因此，可构造如下t统计量,实际上 ，其中 为xi的总样本
6、变异； 为对所有其他自变量（并包括截距项）进行回归所得到的R2,t检验,设计原假设与备择假设：,H1：i0,给定显著性水平，可得到临界值t/2(n-k)，由样本求出统计量t的数值，通过 |t| t/2(n-k) 或 |t|t/2(n-k) 来拒绝或接受原假设H0，从而判定对应的解释变量是否应包括在模型中。,H0：i=0 （i=1,2k）,注意：一元线性回归中，t检验与F检验一致,一方面，t检验与F检验都是对相同的原假设H0：1=0 进行检验; 另一方面，两个统计量之间有如下关系：,3.5 应用举例,1、中国居民人均消费模型 考虑建立中国居民人均消费的多元线性模型。 解释变量： 人均GDP：GD
7、PP 前期消费：CONSP(-1) 估计区间： 19792000年,中国居民人均消费支出与人均GDP（元/人),Eviews软件估计结果,在中国居民人均收入-消费支出二元模型例中，由应用软件计算出参数的t值：,给定显著性水平=0.05，查得相应临界值： t0.025(19) =2.093。,可见，计算的所有t值都大于该临界值，所以拒绝原假设。即: 包括常数项在内的3个解释变量都在95%的水平下显著，都通过了变量显著性检验。,2、企业的工资影响因素模型,使用Wooldridge的CEOSAL2.RAW中的数据得到以下关于企业工作人员工资的影响因素模型如下表，小括号内为标准误。其中变量mktval
8、为企业的市场价值；profmarg为利润占销售额的百分比；ceoten为其就任当前公司CEO的年数;而comten则为其在这个公司的总年数。 （1）评论profmarg对CEO薪水的影响。 （2）市场价值是否具有显著影响？试解释你的结论。 （3）解释ceoten和comten的系数。这些变量是统计显著的吗？你如何解释在其他条件不变的情况下，你在这个公司任职时间越长，你的薪水则越低？,3、在职培训津贴对企业废弃率的影响,对于1987年密歇根州制造企业的一个样本（见Wooldridge中数据集JTRAIN.RAW中数据的一个子集），估计以下方程。 其中n=30, R2=0.431。小括号内为标准误。变量hrsemp为平均每个雇员每年受到培训的小时数；sales为企业年销售额；employ为企业雇员人数。 （1）判断变量hrsemp的系数的显著性，如果显著，企业增加培训能够降低废弃率，但企业还可能考虑其他什么因素？,（2）利用一个更大企业样本，1987年的43个观测值，得到总体回归模型 的估计方程，判断hrsemp的显著性。 （2）证明这个总体模型可以写成 解释假设,（3）当估计第（2）部分的方程时得到 控制了工人培训和销售-雇员比后，是否越大的企业具有越为统计显著的废弃率？ （4）检验假设：sales/employ提高1%将伴随以废弃率下降1%,
