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1、第三章 地理学中的经典统计分析方法,甘肃农业大学资源与环境学院,内容,第一节 相关分析 第二节 回归分析 第三节 时间序列分析 第四节 系统聚类分析 第五节 主成分分析 第六节 趋势面分析方法 第七节 马尔科夫预测方法,甘肃农业大学资源与环境学院,第1节 相关分析（correlation analysis）,相关分析的任务，是揭示地理要素之间相互关系的密切程度。而地理要素之间相互关系密切程度的测定，主要是通过对相关系数的计算与检验来完成的。,甘肃农业大学资源与环境学院,地理要素间的关系 函数关系：确定性的关系，这种关系在地理各要素间较少见，这是因为许多地理要素的变化具有随机性的缘故； 相关关系
2、：即要素间既存在密切的关系，但又不能由一个（或几个）要素（或变量）的值明确地求出另一个要素（变量）的值。,甘肃农业大学资源与环境学院,两要素之间相关程度的测定 多要素间相关程度的测定,内容,甘肃农业大学资源与环境学院,一、两要素之间相关程度的测定,相关系数的计算与检验 秩相关系数的计算与检验,甘肃农业大学资源与环境学院,相关系数的计算 定义: 和 为两要素的平均值。,（3.1.1）,（一）相关系数的计算与检验,甘肃农业大学资源与环境学院,说明 ：-1 = =1， 大于0时正相关，小于0时负相关。 的绝对值越接近于1，两要素的关系越密切；越接近于0，两要素的关系越不密切。,甘肃农业大学资源与环境
3、学院,简化: 记 公式（3.1.1）可简化为,（3.1.2）,甘肃农业大学资源与环境学院,表3.1.1 伦敦的月平均气温与降水量,资料来源：http:/www.cwb.gov.tw/V4/climate/wta_station/wta20.htm,相关分析实例,甘肃农业大学资源与环境学院,(1)根据表3.1.1中的数据，我们可以利用公式（3.1.1），计算伦敦市月平均气温（t）与降水量(p)之间的相关系数 (2)计算结果表明，伦敦市的月平均气温（t）与降水量(p)之间呈负相关，即异向相关。,甘肃农业大学资源与环境学院,又如:根据甘肃省53个气象台站的多年平均数据（见教材表3.1.2），可以利用
4、公式（3.1.1）对降水量（p）和纬度（y）之间的相关系数以及蒸发量（v）和纬度（y）之间的相关系数进行计算，结果如下,甘肃农业大学资源与环境学院,计算结果表明，降水量（p）和纬度（y）之间异向相关，而蒸发量（v）与纬度（y）之间同向相关。,甘肃农业大学资源与环境学院,相关系数的检验,相关系数是根据要素之间的样本值计算出来，它随着样本数的多少或取样方式的不同而不同，因此它只是要素之间的样本相关系数，只有通过检验，才能知道它的可信度。 检验是通过在给定的置信水平下，查相关系数检验的临界值表来实现的。,甘肃农业大学资源与环境学院,表3.1.3 检验相关系数 的临界值（ ）表,甘肃农业大学资源与环境
5、学院,在表3.1.3中， f 称为自由度 ，其数值为 f=n-2，n为样本数；上方的 代表不同的置信水平；表内的数值代表不同的置信水平下相关系数 的临界值,即 ;公式 的意思是当所计算的相关系数 的绝对值大于在 水平下的临界值 r时，两要素不相关（即 ）的可能性只有 。,甘肃农业大学资源与环境学院,对伦敦市月平均气温（t）与降水量(p)之间的相关系数，f=12-2=10，在显著性水平 上，查表3.1.3，得知： 。 因为 ，所以，伦敦市月平均气温（t）与降水量(p)之间的相关性并不显著。,甘肃农业大学资源与环境学院,对于甘肃省53个气象台站降水量（p）和纬度（y）之间的相关系数，以及蒸发量（v
6、）和纬度（y）之间的相关系数，f=53-2=51，表中没有给出相应样本个数下的临界值 ，但是我们发现，在同一显著水平下，随着样本数的增大，临界值 减少。在显著性水平=0.001上，取f=50，查表3.1.3得知： =0.443 3。显然, 和 的绝对值都远远大于 =0.443 3，这说明甘肃省53个气象台站降水量（p）和纬度（y）之间，以及蒸发量（v）和纬度（y）之间都是高度相关的。,甘肃农业大学资源与环境学院,举例，北京市多年各月平均气温与5cm深的平均地温，如表所示，请计算两者的相关系数,甘肃农业大学资源与环境学院,用导出公式,甘肃农业大学资源与环境学院,相关系数计算表,甘肃农业大学资源与
7、环境学院,甘肃农业大学资源与环境学院,秩相关系数 又称等级相关系数，或顺序相关系数,是将两要素的样本值按数据的大小顺序排列位次，以各要素样本值的位次代替实际数据而求得的一种统计量。,（3.1.4）,（二）秩相关系数的计算与检验,甘肃农业大学资源与环境学院,教材中表3.1.4给出了2003年中国大陆各省（直辖市、自治区）的GDP（x）和总人口（y）数据及其位次，将数据代入公式（3.1.4），就可以计算它们之间的秩相关系数 即：GDP（x）与总人口（ y ）之间的等级相关系数为0.784 7。,示例：,甘肃农业大学资源与环境学院,注：n代表样本个数，代表不同的置信水平，也称显著水平，表中的数值为临
8、界值 。,秩相关系数的检验,表3.1.5 秩相关系数检验的临界值,甘肃农业大学资源与环境学院,在上例中，n=31，表中没有给出相应的样本个数下的临界值 ，但是同一显著水平下，随着样本数的增大，临界值 减少。在n=30时，查表得: 0.432，由于 =0.784 7 0.432，所以在=0.01的置信水平上来看，中国大陆各省（直辖市、自治区）人口规模与GDP是等级相关的。,甘肃农业大学资源与环境学院,甘肃农业大学资源与环境学院,浙江省月平均气温与相关物理因子的相关关系 a. 平均气温与海拔; b平均最高气温与日总辐射; c平均最低气温 与日照百分率; d. 平均最低气温与相对湿度,甘肃农业大学资
9、源与环境学院,二、多要素间相关程度的测定,偏相关系数的计算与检验 复相关系数的计算与检验,甘肃农业大学资源与环境学院,（一）偏相关系数的计算与检验, 定义：在多要素所构成的地理系统中，先不考虑其他要素的影响，而单独研究两个要素之间的相互关系的密切程度，这称为偏相关。用以度量偏相关程度的统计量，称为偏相关系数。,偏相关系数的计算,甘肃农业大学资源与环境学院, 计算： 3个要素的偏相关系数,甘肃农业大学资源与环境学院,4个要素的偏相关系数,甘肃农业大学资源与环境学院,例如：对于某4个地理要素x1，x2，x3，x4的23个样本数据，经过计算得到了如下的单相关系数矩阵：,甘肃农业大学资源与环境学院,利
10、用公式计算一级偏向关系数，如表3.1.6所示：,利用公式计算二级偏相关系数，如表3.1.7所示：,4个要素的一级偏相关系数有12个，这里给出了9个；二级偏相关系数有6个，这里全部给出来了。,表3.1.6 一级偏相关系数,表3.1.7 二级偏相关系数,甘肃农业大学资源与环境学院,偏相关系数的性质, 偏相关系数分布的范围在-11之间； 偏相关系数的绝对值越大，表示其偏相关程度越大； 偏相关系数的绝对值必小于或最多等于由同一系列资料所求得的复相关系数，即 R123|r123|。,甘肃农业大学资源与环境学院,偏相关系数的显著性检验,偏相关系数的显著性检验，一般采用t检验法。其统计量计算公式为,式中：
11、为偏相关系数;n为样本数；m为自变量个数。,（3.1.14）,甘肃农业大学资源与环境学院,查t分布表，在自由度为23-3-1=19时，t0.001=3.883，显然 ，这表明在置信度水平 =0.001上，偏相关系数r2413是显著的。,譬如，对于上例计算得到的偏相关系数 ，由于n=23，m=3，故,甘肃农业大学资源与环境学院,复相关系数,实际上，一个要素的变化往往受多种要素的综合作用和影响，而单相关或偏相关分析的方法都不能反映各要素的综合影响。要解决几个要素与某一个要素之间的复相关程度，用复相关系数来测定。,甘肃农业大学资源与环境学院,（二）复相关系数的计算与检验,复相关系数：反映几个要素与某
12、一个要素之间的复相关程度 。 复相关系数的计算 当有两个自变量时 当有三个自变量时,（3.1.15）,（3.1.16）,甘肃农业大学资源与环境学院,当有k个自变量时,（3.1.17）,甘肃农业大学资源与环境学院, 复相关系数介于01之间，即 复相关系数越大，则表明要素（变量）之间的相关程度越密切。复相关系数为1，表示完全相关；复相关系数为0，表示完全无关。 复相关系数必大于或至少等于单相关系数的绝对值。,复相关系数的性质,甘肃农业大学资源与环境学院,复相关系数的显著性检验,复相关系数的显著性检验(F检验法) n为样本数，K为自变量个数,甘肃农业大学资源与环境学院,例题：在上例中，若以x4为因变
13、量，x1，x2，x3为自变量，试计算x4与x1，x2，x3之间的复相关系数。,解：按照公式（3.1.16）计算 检验： ，故复相关达到了极显著水平。,甘肃农业大学资源与环境学院,各种相关系数的含义及用途比较,甘肃农业大学资源与环境学院,第2节 回归分析（regression analysis),一元线性回归模型 多元线性回归模型 非线性回归模型,Enquist n称为移动时距。,（一）平滑法,（3.3.3）,甘肃农业大学资源与环境学院,滑动平均法 其计算公式为 式中: 为t点的滑动平均值;l为单侧平滑时距。 若l=1，则（3.3.4）式称为三点滑动平均，其计算公式为 若l=2，则（3.3.4）
14、式称为五点滑动平均， 其计算公式为,（3.3.4）,（3.3.5）,（3.3.6）,甘肃农业大学资源与环境学院,指数平滑法 一次指数平滑 为平滑系数。一般时间序列较平稳，取值可小一些，一般取（0.05,0.3）；若时间序列数据起伏波动比较大，则应取较大的值，一般取（0.7,0.95）。,（3.3.7）,甘肃农业大学资源与环境学院, 高次指数平滑法 二次指数平滑法的预测公式为 三次指数平滑法的预测公式 为,（3.3.8）,（3.3.9）,甘肃农业大学资源与环境学院,甘肃农业大学资源与环境学院,三种最常用的趋势线 直线型趋势线 指数型趋势线 抛物线型趋势线,（二）趋势线法,甘肃农业大学资源与环境学
15、院,自相关性判断 时间序列的自相关，是指序列前后期数值之间的相关关系，对这种相关关系程度的测定便是自相关系数。 测度:设y1，y2，yt，yn，共有n个观察值。把前后相邻两期的观察值一一成对，便有（n1）对数据，即(y1，y2)，(y2，y3)，(yt，yt+1)，(yn-1，yn)。,（三）自回归模型,甘肃农业大学资源与环境学院,其一阶自相关系数r1为,二阶自相关系数r2为,甘肃农业大学资源与环境学院,k阶自相关系数为,甘肃农业大学资源与环境学院,自回归模型的建立 常见的线性自回归模型： 一阶线性自回归预测模型为 二阶线性自回归预测模型为 一般地，p阶线性自回归模型为 在以上各式中， 为待估计的参数值，它们可以通过最小二乘法估计获得。,甘肃农业大学资源与环境学院,基本步骤 （1）对原时间序列求移动平均，以消除季节变动和不规则变动，保留长期趋势； （2）将原序列y除以其对应的趋势方程值（或平滑值），分离出季节变动（含不规则变动），即,三、季节变动预测,季节系数= TSCI/趋势方程值（TC或平滑值）=SI,甘肃农业大学资源与环境学院,（3）将月度（或季度）的季节指标加总，以由计算误差导致的值去除理论加总值，得到一个校正系数，并以该校正系数乘以季节性指标从而获得调整后季节性指标。 （4）求预测模型，若求下一年度的预测值，延长趋势线即可；若求各月（季）
