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1、若连续型随机变量 X 的概率密度函数为,则称 X 服从参数为 和 的正态分布，,正态分布是应用最广泛的一种连续型分布.,十九世纪前叶,高斯加以推广得到正态分布，,德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面.,定义3(P62.定义13),记为 XN( , 2 ).,f (x)所确定的曲线叫作正态曲线.,其中 - 0 为常数，,3. 正态分布,所以通常称为高斯分布.,由于连续型随机变量唯一地由它的密度函数所描述，我们来看看正态分布的密度函数有什么特点.,在各种分布中具首要地位,正态分布密度的性质,(1) 在 x = 处取到最大值,故 f (x) 以为对称轴，,令 x
2、=+c, x=-c (c0), 分别代入f (x), 可得,且 f (+c)=f (-c),f (+c) f (), f (-c)f (),x =为 f (x) 的两个拐点的横坐标.,(2) 正态分布的密度曲线位于 x 轴的上方,且关于 x = 对称，,对密度函数求导：,= 0 ，,(3) 密度曲线 y = f (x) 有拐点,即曲线 y = f (x) 向左右伸展时,越来越贴近 x 轴.,当 x 时，f (x) 0+, 决定了图形中峰的陡峭程度,若固定 ，改变 的值，,反之亦然，,则密度曲线左右整体平移.,(4) f (x) 以 x 轴为水平渐近线;,正态分布 N( , 2 )的密度函数图形
3、的特点:,两头低,中间高,左右对称的 “峰” 状,若固定 ，改变 的值，, 决定了图形的中心位置, 决定图形的中心位置;,大量的随机变量都服从或者近似服从正态分布.,但每个因素所起的作用不大.,经济学中的股票价格、产品的销量等等，都服从或近似服从正态分布.,正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度；,射击目标的水平或垂直偏差，测量误差，,如某地的年降雨量,某地区成年男子的身高、体重，,农作物的产量，小麦的穗长、株高；,生物学中同一群体的形态指标，,电子元器件的信号噪声、电压、电流；,有很多分布还可以用正态分布近似.,而正态分布自身还有很多良好的性质.,若影响某一数量指标的随机因素
4、很多，,每一因素独立，,服从正态分布,在自然现象和社会现象中,若随机变量 X N( , 2 )， 则,正态分布的分布函数,X 的分布函数,下面我们介绍一种最重要的正态分布 标准正态分布, = 0 , = 1 的正态分布称为标准正态分布.,其密度函数和分布函数常用 (x) 和 (x)表示：,可查表得其值,！,标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.,求 P(X 2. 5)及,Y N(0, 1),设 XN ( , 2 )，,P(-1.64 X 0.82).,解,P(X 2. 5)= 1-(2. 5),P(X 0. 5)= F(0. 5),查表得,= 0
5、. 6915 ;,= 1 - 0. 9938 = 0. 0062 ;,P(-1.64 X 0.82) = (0. 82)- (-1. 64),= (0. 82)-1- (1. 64),= 0. 7434 ;,=,即若 X N( , 2 ),=,只需将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决正态分布的概率计算问题.,例7(P64.例20),设 XN(0 , 1 )，,！,X 的概率密度为,其中 和 2 都是常数, 任意, 0,整个概率密度曲线都在 x 轴的上方 以为对称轴 在 x=处达到最大值 f ( x)以 x 轴为渐近线 x=为f ( x) 的两个拐点的横坐标,正态分布通过线性变换可转化为标
6、准正态分布,最重要的正态分布标准正态分布X N(0,1),正态分布,X N( , 2 ),！,并求该地区明年 8 月份降雨量超过250mm的概率.,例8(P65.例22) 某地区8月份降雨量 X 服从 =185mm , = 28mm 的正态分布，, XN (185 , 282)，,写出 X 的概率密度，,解,所求概率为,P(X 250) = 1- P(X 250),= 1-(2. 32),= 1- 0. 9898 = 0. 0102 .,再看几个应用正态分布的例子,我们已经看到，当 n 很大，p 接近 0 或 1 时，二项分布近似泊松分布;,可以证明，如果 n 很大，而 p 不接近于 0 或
7、1 时，,二项分布近似于正态分布.,例9 公共汽车车门高度是按男子与车门顶头碰头机会在 0.01以下来设计的.,问门高度应如何确定?,解 设车门高度为 h cm,按设计要求应有 P(Xh)0.01,或 P(Xh) 0.99，,下面求满足上式的最小 h：,若男子身高 XN(170, 62), XN(170,62),查表得 (2. 33) = 0. 9901 0. 99 ，, h=170+13.98, 184 .,设计车门高度为184mm时，可使男子与车门顶碰头机会不超过0.01.,若 XN( , 2 )时，要求满足 P(X x0)= p 的 x0 ：,P(X x0)= p ,如果某考生得48分,
8、 求有多少考生名列该考生之前?,已知1987年全国普通高校统考物理成绩 XN(42,36),这表明有16% 的考生成绩超过48分，,例10 (确定超前百分位数、排定名次),解,由条件知即求 P(X 48)，,查表可知,即 84% 的考生名列该考生之后.,= 1 - (1),即成绩高于甲的人数应占考生 的16.9%,对于录取考试人们最关心的是 自己能否达到录取分数线？ 自己的名次？,某公司招工300名(正式工280,临时工20名),例11(预测录取分数和考生名次),解,166, X N(166,932)，,(1)(预测分数线),考生甲得256分,问他能否被录用？如录用能否被录为正式工？,考后由媒
9、体得知：考试总平均成绩为166分, 360分以上的高分考生有31人.,有1657人参加考试,考试满分为400分.,高于此线的 考生频率为 300 / 1657, 高于360分的考生频率为,(2)(预测甲的名次),当 X=256 时, P(X256),这表明高于256分的频率应为0.169,排在甲前应有,甲大约排在283名.,故甲能被录取,但成为正式工的可能性不大., P(X360),设考生成绩为X,最低分数线为 x0,类似计算可得，,= 0. 9974,例12,解,求 P(|X-| k ) k=1,2,3 .,P(|X-| 3 ) = P( - 3 X + 3 ),这表明 X 的取值几乎全部集
10、中在区间 - 3 , +3内，,这在统计学上称作 3 准则(三倍标准差原则).,超出这个范围的可能性不到 0. 3 % ，,从而可以忽略不计.,为应用方便，下面引入标准正态分布分位数的概念：,(P64.例21) 设 XN( , 2 )，,由三 原则,可认为 X 落在(-3, 3)内,-3 3,若某校有200名初一学生,按能力分成 5 组参加某项测验,求各组分别应有多少人?,例13(按能力分组),学生学习能力一般服从正态分布,解,设学习能力X N (0,1),由三 原则,则每组应占 6/5 的范围,查表可知,由对称性可知 A 组和E 组应有2000.034587 (人), B 组和D 组应有20
11、00.2383747 (人), C 组应有200-472-72 = 92 (人).,现分成组距相同的五组 A,B,C,D,E(如图),-1.8 -0.6 0.6 1.8,为应用方便，更一般地可以建立标准正态分布分位数的概念：,则称 满足等式 P(X u ) = 的数 u 为标准正态分布的上侧 分位数；,定义4(P66.定义14),设 XN(0 , 1 )，,0 1 ,P(X u )= 1- P(Xu ),称满足等式 P(|X|u/2 ) = 的数 u/2 为标准正态分布的双侧 分位数；,u,-u/2,u/2,= ，,= 1-(u ), (u )= 1- ，,可查表得值,类似可得 (u/2 )=
12、 1- /2 ，,若 XN( , 2 )时，要求满足 P(X x0 )= 的 x0 ：,(u )= 1- u,已知圆轴截面直径 d 的分布，,求截面面积 A= 的分布.,4 随机变量函数的分布,再如,求功率 W=V 2/ R (R为电阻）的分布等.,已知t =t 0 时刻噪声电压V 的分布,在实际中，人们常常对随机变量 X 的函数Y= g (X)所表示的随机变量 Y 更感兴趣,设随机变量X 的分布已知,又Y= g (X) (设g是连续函数),无论在实践中还是 在理论上都是重要的,如何由 X 的分布求出 Y 的分布？,通过实例找方法,例1(P67 例24),( X 取某值与 Y 取其对应值是相同
13、的事件,两者的概率应相同 ),一、离散型随机变量函数的分布,解,则 Y=g( X )的分布列为,X 取值分别为 -2, -1, 0, 1, 2 时, Y=2X+1 对应值为-3, -1, 1, 3, 5.,求Y=2X+1,Y=X 2 的分布列.,X Y=X 2 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4,-2, 2 4 -1, 1 1 0 0,一般地，离散型随机变量 X 的分布列为,将它们对应的概率相加后和并成一项即可,若g(xk)中有相等值,则 FY ( y ) = P(Y y),解 设Y 的分布函数为 FY ( y )，,例2(P69 例25),设 X 具有概率密度,求 Y = -2X +
14、 8 的概率密度.,于是Y 的概率密度为,二、连续型随机变量函数的分布,注意到 0 x 4 时，,即 0 y 8 时，,此时,= P(-2X+8 y),设 X 具有概率密度,求导可得,当 y 0 时,注意到 Y = X 2 0，故当 y 0时，FY ( y) = 0;,解 设Y 和X 的分布函数分别为FY ( y) 和 FX (x)，,例3,则 Y=X 2 的概率密度为,Y 服从自由度为 1 的 分布,求Y=X 2 的概率密度.,(P70 例26),从上述两例中可看到，在求P Y y 的过程中, 关键是第一步中: 设法从 g(X) y 中解出X, 从而得到与 g(X) y 等价的关于 X 的不
15、等式 .,用 代替 X 2 y ,即利用已知的 X 的分布,求出 X 的函数的分布,用 代替 -2 X + 8 y ,求连续型随机变量的函数的分布的常用方法,如例2中,如例3中,定理,则 Y = g(X) 是一个连续型随机变量,其概率密度为,又 y = g(x) 处处可导,且有g (x)0 (或恒有g (x)0),类似可证 g (x)0 时,定理的证明与前面的解题思路完全类似.,设连续型随机变量 X 具有概率密度 fX(x),定理(P71 Th2.4),下面求Y 的分布函数FY(y):,证,由于,g 保号,h( y)是g(x) 的反函数,综合以上即有结论成立.,a b a b,试证 X 的线性
16、函数 Y=aX+b (a 0) 也服从正态分布.,证 X 的概率密度为,例4(P72例27) 设随机变量 XN(, 2 ),显然 y = g(x) = a x+b可导且g =a 保号,Y=aX+b 的概率密度为,由定理知, Y = aX + b (a + b , (|a| )2 ),即,注 取 , 验证函数可导且单调, 求反函数及其导数, 代入定理公式即得函数的密度,注意取绝对值,有 , 确定y的取值范围,求 Y = 1- e X 的概率密度.,解,例5(P72例28) 设 X 的概率密度为,显然 y = g(x) = 1- e x 可导, 且g = - e x 保号,Y = 1- e X 的概率密度为,由定理知,即,注意取绝对值,先转化为分布函数, 再求导
