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1、第 五 讲,振动学基础（一）,本讲主要内容,A. 简谐振动的描述,B. 简谐振动的动力学特征,A. 简谐振动的描述,一、简谐振动的定义,振 动,一个物理量随时间 t 作周期性变化,“周期性”是这种运动形式的典型特征,机械振动,物体在一定位置附近作来回往复的运动,简谐振动,物理量按余弦函数的规律随时间变化,一个复杂的周期性运动可以分解成 若干个简谐振动的合成,二、简谐振动的表达式,A 振幅,离开平衡位置的最大位移,三个特征量, 角频率 （或称圆频率）,在 2 秒时间内完成全振动的次数, 初相,反映初始时刻振动系统的运动状态,周期 T 完成一次全振动所经历的时间,频率 1 秒内完成全振动的次数,频
2、率与周期,振动曲线,称为“速度幅”,称为“加速度幅”,三、简谐振动的速度和加速度,简谐振动的加速度与位移成正比而反向,简谐振动的特征方程,判别物体是否作简谐振动的依据之一,四、振动的相位,称为振动的 相位,t = 0 时刻的相位称为初相,1、用“相位”描述物体的运动状态,2、用“相位”来比较两个同频率简谐振动的“步调”,四、旋转矢量表示法,旋转矢量的模为 A,t =0 时，旋转矢量与 x 轴的夹角 ,旋转矢量的角速度为 ,矢量端点在 x 轴上的投影点作简谐振动,旋转矢量的某一位置对应简谐振动的一个运动状态,例题 质点沿 x 轴作简谐振动，振幅为 12 cm，周期为 2 s 。当 t = 0时,
3、 位移为 6 cm ，且向 x 轴正方向运动。求：1. 振动表达式。2. t = 0.5 s 时质点的位移、速度和加速度。3. 质点从 x = - 6 cm 向 x 轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需要的时间。,解,1. 设位移表达式为,已知 A = 0.12 m , T = 2 s,初始条件,t = 0 时， x0 = 0.06 m , v0 0,m,振动表达式为,由初始条件用解析法求初相 ,由 v0 0 决定取舍,m,由初始条件用旋转矢量法求初相 ,当 t = 0 时, 位移为 6 cm ，且向 x 轴正方向运动,A,A/2,2. t = 0.5 s 时质点的位移、速度和加速度,3. 质
4、点从 x = - 6 cm 向 x 轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需要的时间。,x = - 6 cm,向 x 轴负方向运动,第一次回到平衡位置,所需要的时间,例题 两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点 1 在 x1 = A/2 处，向 x 轴负方向运动时，另一个质点 2 在 x2 = 0 处，向x 轴正方向运动。求这两质点振动的相位差。,解,质点 1 的振动超前质点 2 的振动,B. 简谐振动的动力学特征,一、简谐振动的动力学定义,弹簧振子,一根轻弹簧和一个质点构成的孤立振动系统,k,m,k 为劲度系数,小幅振动满足胡克定律，,物体所受的合外力与和位移成正比，方向始终指向平衡
5、位置，称为线性回复力。,令,微分方程的解, ，T 决定于振动系统的动力学性质,固有角频率,固有周期,A ， 决定于初始条件,多值函数，由速度方向决定取舍,判别简谐振动的依据,1、运动表达式为 ，其中 A 、 和 是常数。,2、作用力的形式为 ，k 为常系数。,弹簧振子、单摆的小幅振动是简谐振动,在稳定平衡点附近的小幅振动是简谐振动,二、单摆,小幅振动，,三、简谐振动的能量,振子动能,振子势能,孤立谐振子的机械能守恒,经典谐振子的总能量与振幅的平方成正比,简谐振动系统的动量和动能的平均值等于总能量的一半,例题 质量为 m 的比重计，放在密度为 的液体中。已知比重计圆管的直径为 d 。试证明在竖直方向的振动为简谐振动，并计算周期。,解,取平衡位置为坐标原点,平衡点,V 为平衡时比重计的排水体积,例题 当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？ 物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？,解,当 时， 动能和势能各占总能量的一半。,例题 证明复摆的小幅振动是简谐振动，并求其振动周期。,解,用能量分析法 取O 点为零势能点,J,很小,其振动是简谐振动,
