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1、核反应堆控制,核工教研室 刘成,2020/8/9,QQ:317954872,2,第三章 线性控制系统的状态空间分析方法,主要内容 状态空间表达式的基本概念 状态空间表达式的建立 线性定常系数的线性变换 线性定常系统的状态方程求解 线性定常系统的能控性和能观测性,2020/8/9,QQ:317954872,3,3.1状态空间表达式的基本概念,3.1.1 基本概念 系统数学模型（1）分类，（2）特征。,图3-1 系统数学模型分类结构图,2020/8/9,QQ:317954872,4,3.1状态空间表达式的基本概念,G(s),U(s),Y(s),状 态 方 程,输 出 方 程,u(t),y(t),图
2、3-2输入输出模型结构图,2020/8/9,QQ:317954872,5,3.1状态空间表达式的基本概念,基本概念 状态变量 能够描述系统的时域行为的最小变量 组。x1(t)、x2(t)、 x3(t) （相互独立）。,非唯一性，但状态的数目是一定的； 与输出是两个不同的概念。 不一定有明确的物理含义，不一定可以测量； 在线性系统中，输出是系统状态变量中某一个或某几个与输入变量的线性组合。,2020/8/9,QQ:317954872,6,3.1状态空间表达式的基本概念,状态向量 x (t)=x1(t) x2(t) xn (t)T。 状态空间 由x1(t) x2(t) xn (t)组成的n维正交空
3、 间。 状态空间表达式（模型） 状态空间表达式由状态方程和输出方程构成。,2020/8/9,QQ:317954872,7,3.1状态空间表达式的基本概念,状态方程 描述状态变量与输入变量之间的一阶 微分方程。形如,式中： x为n维状态变量，u为r维输入变量。 A为nn维状态矩阵表明状态间的关系。 B为nr维输入矩阵表明输入变量对状态的影响。,2020/8/9,QQ:317954872,8,3.1状态空间表达式的基本概念,输出方程 描述状态变量与输入变量对输出变量 的影响关系的方程。形如：,式中： y为m维输出变量。 C为mn维输出矩阵表明状态变量对输出变量的影响。 D为mr维前馈矩阵表明输入变
4、量对输出变量的影响。,2020/8/9,QQ:317954872,9,3.1状态空间表达式的基本概念,状态空间表达式 由状态方程和输出方程组成。形 如：,图3-3 系统的状态表达式方块图,2020/8/9,QQ:317954872,10,3.1状态空间表达式的基本概念,3.1.2 列写状态表达式一般步骤 （1）列写微分方程，并转换为一阶微分方程组。 （2）选择状态变量。 （3）将一阶微分方程组写成矩阵的形式。 例3-1,图3-4 R-L-C网络电路,2020/8/9,QQ:317954872,11,3.1状态空间表达式的基本概念,（1）列出微分方程 描述系统的微分方程为：,因为,所以,2020
5、/8/9,QQ:317954872,12,3.1状态空间表达式的基本概念,（2）选择状态变量 选择x1=uC(t)，x2=iL(t)，ui(t)、uo(t)为输入、输出变量。 系统的状态方程为：,2020/8/9,QQ:317954872,13,3.1状态空间表达式的基本概念,（3）写状态空间表达式,所以,2020/8/9,QQ:317954872,14,3.2状态空间表达式的建立,3.2.1由微分方程建立状态空间表达式 某一n阶控制系统的微分方程如下,（1）选择状态变量,2020/8/9,QQ:317954872,15,3.2状态空间表达式的建立,由微分方程建立状态空间表达式 某一n阶控制系
6、统的微分方程如下,（1）选择状态变量,2020/8/9,QQ:317954872,16,3.2状态空间表达式的建立,式中：,2020/8/9,QQ:317954872,17,3.2状态空间表达式的建立,（2）将n微分方程变成一阶微分方程,（3）将一阶微分方程写成矩阵形式,2020/8/9,QQ:317954872,18,3.2状态空间表达式的建立,2020/8/9,QQ:317954872,19,3.2状态空间表达式的建立,由传递函数建立状态空间表达式 某一n阶控制系统的传递函数,2020/8/9,QQ:317954872,20,3.2状态空间表达式的建立,（1）选择状态变量,（2）写一阶微分
7、方程组,2020/8/9,QQ:317954872,21,3.2状态空间表达式的建立,（3）变成矩阵形式,2020/8/9,QQ:317954872,22,3.2状态空间表达式的建立,3.2.3传递函数与状态空间表达式,求逆：（1） 伴随矩阵法 （2）初等变换法 （3）分块对角矩阵法,对于单输入单输出系统,2020/8/9,QQ:317954872,23,3.2状态空间表达式的建立,例3-2 已知控制系统的微分方程式为,求状态空间表达式。,方法一：直接法,2020/8/9,QQ:317954872,24,3.2状态空间表达式的建立,方法二，间接法 先求传递函数,状态空间表达式。,2020/8/
8、9,QQ:317954872,25,3.2状态空间表达式的建立,状态空间表达式,2020/8/9,QQ:317954872,26,3.2离散控制系统的状态空间表达式,3.2.4离散控制系统的状态空间表达式,作如下代换：,结果形式与连续系统一样,2020/8/9,QQ:317954872,27,3.3线性定常系统的线性变换,(1)状态变量的选取具有随意性.(2)简化问题的需要。例如：对角矩阵、约当矩阵等。,核心：通过矩阵变换来实现状态矩阵A的标准和简化,形式一：对角矩阵,2020/8/9,QQ:317954872,28,3.3线性定常系统的线性变换,形式二：约当矩阵,式中：,2020/8/9,Q
9、Q:317954872,29,3.3线性定常系统的线性变换,P是由A的特征向量v1、v2.组成。,得到变换矩阵P，则,再变换B、C和D。,2020/8/9,QQ:317954872,30,3.3线性定常系统的线性变换,例3-2 将下列状态方程变换为对角线标准型,（1）求特征根,2020/8/9,QQ:317954872,31,3.3线性定常系统的线性变换,（2）求特征向量,同样可得,2020/8/9,QQ:317954872,32,3.3线性定常系统的线性变换,（3）变换矩阵,2020/8/9,QQ:317954872,33,3.4线性定常系统的状态方程求解,3.4.1齐次方程的求解,系统的状
10、态空间描述的建立为揭示系统状态的运动规律和基本特性。,如果u=0，状态方程就变成齐次方程,2020/8/9,QQ:317954872,34,3.4线性定常系统的状态方程求解,齐次方程的自由解,2020/8/9,QQ:317954872,35,3.4线性定常系统的状态方程求解,称为状态转移矩阵,齐次方程的自由解可以写为,2020/8/9,QQ:317954872,36,3.4线性定常系统的状态方程求解,3.4.1非齐次方程的求解,如果u0，状态方程就变成非齐次方程,非齐次方程的解,2020/8/9,QQ:317954872,37,3.4线性定常系统的状态方程求解,3.4.1非齐次方程的求解,解
11、（1）求(t),例3-3 试求下述系统在单位阶跃函数作用下的解,2020/8/9,QQ:317954872,38,3.4线性定常系统的状态方程求解,，,2020/8/9,QQ:317954872,39,3.4线性定常系统的状态方程求解,（2）利用解的公式求解,2020/8/9,QQ:317954872,40,3.5线性定常系统的能控性和能观测性,3.5.1线性定常系统的能控性,能控性和能观测性是系统的基本属性。,能控性：存在输入u(t)，能使系统从任意初态x（t0） 转移到任意终端状态x（t1）。 能控性反应输入对状态的控制能力,怎样判定控制系统,能控性？,2020/8/9,QQ:317954
12、872,41,3.5线性定常系统的能控性和能观测性,系统能控的充要条件：,判据二：如果系统的对角线或约当型为,系统能控的充要条件：,不含全为零的行。,判据一：令,2020/8/9,QQ:317954872,42,3.5线性定常系统的能控性和能观测性,判断系统的能控性：,方法一：,2020/8/9,QQ:317954872,43,3.5线性定常系统的能控性和能观测性,所以系统能控。,方法二：系统的状态矩阵为对角线标准型。输入矩 阵没有全为零的行。 所以系统能控。,2020/8/9,QQ:317954872,44,3.5线性定常系统的能控性和能观测性,3.5.1线性定常系统的能观测性,能观测性：系
13、统的输出y（t）和输入u(t)能确定初始状 态x(t0)。 能观测性反应输输出对状态的反应能力,怎样判定控制系统,能观测性？,2020/8/9,QQ:317954872,45,3.5线性定常系统的能控性和能观测性,系统能控的充要条件：,判据二：如果系统的对角线或约当型为,系统能控的充要条件：,不含全为零的列。,判据一：令,2020/8/9,QQ:317954872,46,3.5线性定常系统的能控性和能观测性,判断系统的能控性：,方法一：,2020/8/9,QQ:317954872,47,3.5线性定常系统的能控性和能观测性,Qo的秩为2，所以系统能观测。,方法二：系统的状态矩阵为对角线标准型。输出矩 阵没有全为零的列。 所以系统能观测。,2020/8/9,QQ:317954872,48,3.5线性定常系统的能控性和能观测性,谢谢大家！,2020/8/9,QQ:317954872,49,3.5线性定常系统的能控性和能观测性,作业：课后习题 3.1-3.7,
