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1、,原根的定义,定理5.5.2 -域的唯一性,定理5.5.3 -伽罗瓦域的同构,5.5 有限环,一、定理,定理5.5.1 -有限域的阶是素数的方幂,例1,例2,推论1,定理5.5.4 -伽罗瓦域存在且仅有唯一子域,推论2,推论3,二、例子,例3,参考资料,定理5.5.1 有限域的阶是一个素数的方幂.,证 设 是有限域, 则 的特征是一个素数, 设为,关于加法构成一个交换群.,由于对每个 , 有 , 故 中每个非零元,的阶数都是素数 .,一、定理,注 利用素域的概念, 可以给出定理5.5.1的另一种,证明.,定理5.5.2 对每个素数 和每个正整数 , 在同构,的意义下存在惟一的 阶的有限域.,证
2、 考虑 在 上的分裂域 .,集就等于 . 因此, .,下面证明惟一性.,以 中每个元都是 的根. 于是 一定是,在 上的分裂域. 由定理5.3.3的推论1, 在同构,意义下这样的域是惟一的.,因为 的非零元全体构成一个 阶的乘法群,注 因为对每个素数幂 仅存在一个 阶的域,所以,我们可将此域记作 (以纪念伽罗瓦), 并,称之为 阶的伽罗瓦域.,定理5.3.3 作为加法群同构于,证 关于加法的结构是简单的(见习题3).,但乘法结构的证明要复杂一点.,我们略去不证. 详细证明可参见1.,推论1 一个有限域 是它的素子域的一个单扩域.,推论2,推论3 设 是 的非零元乘法群的生成元,则 是 上的 次
3、代数元.,证 这是因为,由上述定理可知, 素 的乘法群 也是一个循,环群.设 , 使 , 这样的正整数 称为模,的一个原根.,二、例子,例1 设 , 则 , 故 是模,的原根的充分必要条件是,由于,但是,故 是模 的原根, 又因为 都不是原根, 所以,也是模 的最小原根, .,确定模的最小原根 是数论中的一个重要课题.,以下素数及其最小原根表见2中的附录.,例2 多项式 是 上的不可约多,项式.我们来考虑如何将 写成一次因式的乘积. 设, 则 是个域, . 设,是 在 上的根, 则由群的拉格朗日定理知 在乘,法群 中的阶 . 由定理5.3.2,我们知道, 是 的一个根, 我们要检验 中其他,元
4、素是否是根. 可以利用等式 来简化计算,列出 中上述两种表法的对应关系. 由于 ,所以 . 则,现在来检验 是否为 的根:,因此, 是根. 而,故不是. 类似可得 . 所以,定理5.5.4 对 的每个正因数 , 中存在惟,一的 阶的子域. 并且这些是 中仅有的子域.,证 先证存在性. 设 . 因为,所以, . 从而在 中 .,于是 中的每个根也是 的根.但是,我们在定理5.5.1的证明中已知 的零点集是,在 中的零点集是 .,因此, 只要 , 则 就是 的子域.,如果 中有两个不同的 阶子域, 那么多项式,次多项式最多只有 个根, 这就推出矛盾.,最后, 假设 是 的子域, 存在正整数 ,使 同构于 . 由定理5.4.5,于是, .,例3 设 , 是 的生成元, 则,由于 的正因数为 且,所以,所以, 的所有子域为:,参考文献及阅读材料,
