《新人教版八年级数学上册第十二章《三角形全等的判定(1)》名师教案》由会员分享,可在线阅读,更多相关《新人教版八年级数学上册第十二章《三角形全等的判定(1)》名师教案(20页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、1212.2 三角形全等的判定 第1课时一、教学目标(一)学习目标1经历探索三角形全等条件的过程,体验分类讨论的数学思想,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.2经历探索利用 “边边边”判定两个三角形全等的过程,体会从特殊到一般的数学思维过程.3掌握三角形全等的判定“边边边”,初步体会并运用综合推理证明命题,掌握作一个角等于已知角的方法.(二)学习重点1指导学生分析问题,寻找判定三角形全等的条件.2三角形全等的“边边边”条件的探索和运用.(三)学习难点1理解证明的基本过程,初步学会证三角形全等的格式.2会用尺规作一个角等于已知角.二、教学设计(一)课前设计1预习任务(1)三边分别相等的两个三角
2、形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”)(2)利用尺规作一个角等于已知角.其作法的根据是 边边边 .2预习自测(1)如图,AB=AD,CB=CD,则_. 根据是_.【知识点】全等三角形的判定:边边边【思路点拨】图中的隐含条件公共边“AC=AC” 【答案】ABC,ADC, 边边边 或SSS(2)如图,线段AD与BC交于点O,且AC=BD,AD=BC,则下面的结论中不正确的是( )AABCBAD BC=D CCAB=DBA DOB=OD【知识点】全等三角形的判定:边边边,全等三角形的性质.【思路点拨】由题中两个条件和公共边可证得两个三角形全等,再根据全等三角形的性质得对应边相等.【解题过程】由A
3、C=BD,AD=BC,AB=BA,可证得ABCBAD,故A正确;由ABCBAD,可得C=D,故B正确;由ABCBAD,可得CAB=DBA,故C正确;OB和OD不是ABC和BAD的对应边,故D不正确.故选:D(3)将下列推理过程补充完整.如图,AB=CD,BF=DE,E、F是AC上两点,且AE=CF求证:B=D.证明:AE=CFAE+EF=CF+EF即_=_.在ABF和CDE中,ABFCDE ( )_.【知识点】全等三角形的判定定理:边边边,全等三角形的性质.【思路点拨】利用等式的性质,等式两边同时加上EF,可得AF=CE,再得ABFCDE,最后由全等三角形的性质得B=D.【答案】AF,CE,A
4、B=CD,BF=DE,AF=CE,SSS,B=D(二)课堂设计1知识回顾(1)能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.(2)全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等,全等三角形的对应角相等.2问题探究探究一:探索三角形全等的条件活动 创设情境,提出问题问题:两个三角形全等,是否一定需要六个条件呢?如果只满足六个条件中的一部分,是否也能保证两个三角形全等呢?【设计意图】问题的提出使学生产生浓厚的兴趣,激发他们的探究欲望.活动 建立模型,探索发现1两个三角形满足六个条件中的一个条件,两个三角形全等吗?一个条件有几种情况?学生经过交流得出:一条边或一个角.2.(1)让学生画一个一边长为3cm的三角形
5、,画后剪下来看与同桌的三角形能否重合.(2)让学生画一个一个角为30的三角形,画后剪下来看与同桌的三角形能否重合.只给定一条边相等:3cm3cm3cm只给定一个角相等:3030303通过上面的操作,你得到了什么结论?学生讨论后得出结论.结论:两个三角形一条件相等不一定全等.【设计意图】学生动手操作,通过实践、自主探索、交流,获得新知,同时也渗透了分类讨论的思想.活动1两个三角形满足六个条件中的两个条件时两个三角形全等吗?两个条件有几种情况?学生分组交流讨论.结论:一条边和一个角相等、两个角相等、两条边相等.2让学生画一个一边长为3cm和一个角为30三角形,画好后剪下来看与同桌的三角形能否重合?
6、3让学生画一个两个角分别为30和50的三角形,画好后剪下来看与同桌的三角形能否重合.4让学生画一个两边分别为3cm和5cm的三角形,画好后剪下来看与同桌的三角形能否重合.5通过上面的操作,你得到了什么结论?学生通过画一画,比一比,得出结论.结论:两个三角形两个条件相等不一定全等.【设计意图】学生动手操作自主探索、交流,获得新知,明确两条件不能判定两个三角形全等,为探究后面三个条件判定两个三角形全等作铺垫.探究二:探索三角形全等的判定“边边边”.1师问:前面通过探究一个条件或两个条件的两个三角形不一定全等,那么当满足三个条件的两个三角形是否全等,三个条件有几种情况?学生分组讨论后,每组选代表发言
7、.结论:三内角、三条边、两边一内角、两内角一边师问:三个内角相等全等吗?请举例说明.通过学生的回答,全班明白三个内角相等的两个三角形不一定全等.2画一个三角形的三条边长分别为3cm、4cm、5cm画好后剪下来看与同桌的三角形能否重合.3任意画一个ABC,根据前面作法,同样可以作出一个ABC,使AB=AB、AC=AC、BC=BC将ABC剪下,观察两个三角形能否重合4通过上面的操作,你得到了什么结论?学生经过特殊到一般的思想,通过画一画,比一比,得出结论.结论:两个三角形满足三条边相等时,这个两个三角形全等。【设计意图】学生通过动手操作,得到“三边分别相等的两个三角形全等”,体会从特殊到一般的数学
8、思考方式.探究三:利用全等三角形的判定“SSS”解决问题.例1:如图,AB=DE,AC=DF,BF=CE若B40,D=110, 则DFE=_ .【知识点】全等三角形的判定边边边,全等三角形的性质,三角形的内角和.【思路点拨】利用等式的性质,等式两边同时加上FC,可得BC=FE,再得ABCDEF,最后由全等三角形的性质解决问题.【解题过程】BF=CE,BC=EF,又AB=DE,AC=DF,ABCDEF,可得BE=40,在DEF中,由三角形的内角和可知,DFE=30.【答案】30.练习:如图,AB=AD,CB=CD,B30,BAD=48,则ACD=_.【知识点】全等三角形的判定边边边,全等三角形的
9、性质,三角形的内角和.【思路点拨】利用图中隐含条件公共边“AC=AC”,又因为 AB=AD,CB=CD再得ABCADC,最后由全等三角形的性质解决问题.【解题过程】AB=AD,CB=CD,AC=AC,ABCADC,可得BD=30, BACDAC=24,在ADC中,由三角形的内角和可知,ACD=126.【答案】126【设计意图】通过练习,掌握全等三角形的判定定理边边边.例2:ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架,请问ADBC吗?请说明理由【知识点】全等三角形的判定边边边,全等三角形的性质.【数学思想】数形结合思想【思路点拨】中点的性质和公共边,注意证全等三角形的规范书写
10、.【解题过程】解:ADBC理由如下:D是BC的中点 BDDC在ABD和ADC中,ABDACD (SSS)BDAADC90 (全等三角形对应角相等)ADBC.练习 如图,C是AB的中点,ADCE,CD=BE, 求证:CDBE【知识点】全等三角形的判定边边边,全等三角形的性质,平行线的判定.【数学思想】转化思想.【思路点拨】先证得ACDCBE, 然后根据全等三角形的对应角相等即可证得ACDB,最后由平行线的判定可证得CDBE【解题过程】证明:C是AB的中点,ACCB.在ACD和CBE中,ACDCBE (SSS)ACDB(全等三角形对应角相等)CDBE(同位角相等,两直线平行)【设计意图】巩固中点知
11、识,养成在几何图形中找隐含的等量关系.掌握三角形全等的判定“边边边”,初步体会并运用综合推理证明命题.例3如图,已知AD=CB,AF=CE,DE=BF求证:ADCB.【知识点】全等三角形的判定边边边,全等三角形的性质,平行线的判定.【数学思想】数形结合思想.【思路点拨】先证得ADECBF, 然后根据全等三角形的对应角相等即可证得DAEBCF,最后由平行线的判定可证得ADCB.【解题过程】证明:AF=CE AF-EFCE-EF即AE=CF在ADE和CBF中,ADECBF (SSS)DAEBCF(全等三角形对应角相等)ADCB(内错角相等,两直线平行)练习 如图,点B、C、D、E在同一直线上,已知
12、ABFC,AD=EF,BC=DE,请问AD与EF有何关系?并说明理由.【知识点】全等三角形的判定边边边,全等三角形的性质,平行线的判定.【思路点拨】先证得ABDFCE, 然后根据全等三角形的性质可证得AD=EF,ADBFEC,最后由平行线的判定可证得ADEF.【数学思想】数形结合思想,分类讨论思想.【解题过程】解:AD=EF, ADEF,理由如下:BC=DEBC+CD=DE+CD即BD=CE在ABD和FCE中,ABDFCE(SSS)ADBFEC,AD=EF (全等三角形对应角相等)ADEF(同位角相等,两直线平行)【设计意图】利用等式性质,两条相等的线段同时加上(或减去)同一条线段(或相等的线
13、段)所得线段仍然相等.运用三角形全等的判定 “边边边”,初步体会并运用综合推理证明命题.例4.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,求证:B=D.【知识点】全等三角形的判定“边边边”,全等三角形的性质.【数学思想】通过将“文字语言”,“图形语言”转化为“符号语言”.体会转化思想.【思路点拨】先连接AC,由于AB=AD,CB=CD,AC=AC,利用SSS可证ABCADC,于是B=D要求学生从“形”思维到“质”的思维飞跃,实现将“文字语言”,“图形语言”转化为“符号语言”.并要求书写规范.【解题过程】证明:连接AC,在ABC和ADC中,ABCADC,(SSS)B=D(全等三角形对应角相
14、等)练习 如图,在ABC中,C=90,AD=AC,DE=CE.请问ED和AB的位置关系,并说明理由.【知识点】全等三角形的判定“边边边”,全等三角形的性质.【思路点拨】先连接AE,由于AC=AD,CE=DE,AE=AE,利用SSS可证ACEADE,于是ADE=C=90,从而DEAB.【解题过程】解:DEAB理由如下:连接AE,在ACE和ADE中,ACEADE (SSS)ADE=C=90(全等三角形对应角相等)DEAB【设计意图】渗透连接线段构造全等三角形的辅助线的方法.例5如图,已知AOB,利用直尺和圆规作AOB=AOB,并说明为什么这样做出来的AOB和AOB是相等的?【知识点】尺规作图,全等
15、三角形的判定“边边边”,全等三角形的性质.【解题过程】作法:1.以点O为圆心,适当长为半径作弧交OA、OB于点C、D.2作任一射线OA, 以点O为圆心,以OC长为半径作弧交O A于点C.3以点C为圆心,CD长为半径画弧,与第2步中所画的弧相交于D.4.过点D画射线OB,则AOB=AOB理由:在DOC和DOC中, DOCDOC (SSS) AOB=AOB(全等三角形对应角相等)练习5.有一块三角形的厚铁板,根据实际生产需要,工人师傅要把MAN平分开现在他手边只有一把尺子(没有刻度)和一根细绳,你能帮工人师傅想个办法吗?并说明你的根据【知识点】全等三角形的判定“边边边”,全等三角形的性质.【解题过
16、程】用绳子的一定长度在AM,AN边上截取AB=AC,再选取适当长度的绳子,将其对折,得绳子的中点D,把绳子的两端点固定在B,C两点,拉住绳子中点D,向外拉直BD和CD,再在铁板上点出D的位置,作射线AD,则AD平分MAN,理由如下:在ACD和ABD中,ABDACD(SSS),BAD=CAD,即AD为MAN的平分线【设计意图】三角形全等的判定“边边边”的实际应用.3、课堂小结知识梳理(1)三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”)(2)利用尺规作一个角等于已知角.重难点归纳(1)培养学生分类讨论思想对问题进行分析.(2)全等三角形的判定“边边边”的运用及全等三角形的性质.(
17、3)利用图形语言挖掘隐含条件判定全等,连接线段构造全等三角形.(4)会用尺规作一个角等于已知角.(三)课后练习基础型 自主突破1如图,已知AC=BD,要使ABCDCB,根据“SSS”需要添加条件;【知识点】三角形全等的判定 “边边边”【数学思想】数形结合思想.【思路点拨】利用图形语言隐含条件BC=BC.【答案】AB=DC2如图,AB=CD,若添加条件_,则可根据_公理证得ABCCDA【知识点】三角形全等的判定 “边边边”【数学思想】数形结合思想.【思路点拨】利用图形语言隐含条件AC=AC【答案】BC=AD,SSS3如图,AC=DF,BC=EF,AD=BE,BAC=72,F=30,则ABC= .
18、【知识点】三角形全等的判定“边边边”,全等三角形的性质.【数学思想】数形结合思想.【思路点拨】先证ABCDEF,得F=C=30,最后ABC的内角和求ABC的度数.【解题过程】因为AD=BE,所以DE=AB,又因为AC=DF,BC=EF,所以ABCDEF,得F=C=30,由ABC的内角和得ABC的度数为78.【答案】78.4如图,已知AB=AC,BD=DC,那么下列结论中不正确的是( )AABDACD BADB=90CBAD是B的一半 DAD平分BAC【知识点】三角形全等的判定 “边边边”,全等三角形的性质.【解题过程】由边边边可得ABDACD,故A正确.由ABDACD可证得ADB=ADC=90
19、, 故B正确.由题中已知条件不能证得C选项,故C不正确.由ABDACD可证得BAD=DAC,即AD平分BAC,故D正确【答案】选C.5如图,已知BEDF,AF=CE,AB=DC,求证:ABECDF【知识点】三角形全等的判定 “边边边”.【思路点拨】利用等式的性质证得AECF.【解题过程】证明:AF=CE AF+EFCE+EF 即AE=CF在ABE和CDF中,ABECDF (SSS)6. 如图,AB=AC,ADAE,BD=CE.求证BAC=DAE【知识点】三角形全等的判定 “边边边”,全等三角形的性质.【数学思想】数形结合思想.【思路点拨】题中已知三条边相等易证ABDACE,得BAD=CAE利用
20、等式的性质证得BAC=DAE.【解题过程】证明:在ABD和ACE中,ABDACE, (SSS)BAD=CAE(全等三角形对应角相等)BAD+DAC=CAE+DAC即BAC=DAE能力型 师生共研1.如果ABC的三边长分别为3,5,7,DEF的三边长分别为3,3x2,2x1,若这两个三角形全等,则x等于( ) A B3 C4 D5【知识点】三角形全等的判定 “边边边”.【数学思想】分类讨论思想.【思路点拨】因为两个三角形全等,所以它们的三边应分别相等. 题中已有一边相等,即3x2可能为5或7分类讨论.【解题过程】当3x25,解得x,将x代入2x1中不得7,所以此种情况不成立. 当3x27,解得x
21、3,将x3代入2x1中得5,所以此种情况成立.【答案】选B.2.如图,AB=CD,AD=BC,O为BD上任意一点,过O点的直线分别交AD,BC于M、N若DBC=20, BON=71,求DMN的度数.【知识点】三角形全等的判定 “边边边”,全等三角形的性质.【数学思想】转化思想.【思路点拨】题中已知条件易证ABDCDB得ADB=CBD,再证得ADCB,最后由平行线的性质和三角形的内角和求出DMN的度数.【解题过程】解:在ABD和CDB中,ABDCDB (SSS) ,ADB=CBD(全等三角形对应角相等)ADCBDMN=BNM在BNO中,DBC=20,BON=71,由三角形的内角和可得BNM89.
22、DMN89.探究型 多维突破1. 如图,已知线段AB、CD相交于点O,AD、CB的延长线交于点E,OA=OC,EA=EC,请说明A=C.【知识点】三角形全等的判定 “边边边”,全等三角形的性质.【数学思想】数形结合思想.【思路点拨】作出辅助线OE,证两个三角形全等就可解决问题.【解题过程】证明:连接OE在AOE和COE中,AOECOE (SSS)A=C (全等三角形对应角相等) 2如图,点C,F在直线AD上,且AF=DC,AB=DE,BC=EF.(1)试证明ABDE;(2)观察图,指出它们是怎样由图变换得到的?(3)在满足已知条件的情况下,根据图,试证明BCEF.【知识点】三角形全等的判定 “
23、边边边”,全等三角形的性质.【数学思想】数形结合思想.【思路点拨】利用等式的性质证得ACDF.【解题过程】证明:(1)AF=DC AF-CFDC-CF 即AC=DF在ABC和DEF中,ABCDEF (SSS)A=D (全等三角形对应角相等)ABDE.(2)图,都是由图中ABC沿着CD的方向平移得到的;(3)AF=DCAF+ADDC+AD即AC=DF在ABC和DEF中,ABCDEF (SSS)C=F(全等三角形对应角相等)BCEF.自助餐1.如图,ABC中,AB=AC,EB=EC,则由“SSS”可以判定()AABCACD BABEACECBDECDE D以上答案都不对B【知识点】三角形全等的判定
24、 “边边边”.【数学思想】数形结合思想.【思路点拨】利用图形语言隐含条件公共边,运用“边边边”判断两个三角形全等.【解题过程】在ABD和ACD中,只有AB=AC和AD=AD两个条件,故A错误.在ABE和ACE中,有AB=AC,AE=AE,EB=EC三个条件,故B正确.在BDE和CDE中,只有EB=EC和ED=ED两个条件,故C错误.由前面三个选项可知D错误.【答案】选B.2.如图,AB=CD,BC=DA,E、F是AC上的两点,且AE=CF,DE=BF,那么图中全等三角形共有( )对A1对 B2对 C3对 D4对 【知识点】三角形全等的判定 “边边边”.【数学思想】数形结合思想.【思路点拨】利用
25、图形语言隐含条件公共边,运用“边边边”判断两个三角形全等.【解题过程】由AE=CF,DE=BF,BC=DA可知ADECBF, 由AE=CF可知AF=CE,又因为DE=BF,AB=CD,可得DECBFA, 由AB=CD,BC=DA,AC=AC,可知ADCCBA.【答案】选C.3.如图,用直尺和圆规作一个角等于已知角,能得出AOB=AOB的依据全等三角形的判定_DABCO【知识点】三角形全等的判定 “边边边”.【思路点拨】观察图找相等的线段,运用“边边边”判断两个三角形全等.【解题过程】因为OD= OD, OC= OC, DC= DC,所以DOCDOC 即AOB=AOB【答案】SSS或边边边.4.
26、如图,点B,C在DE上,AB=AC,CD=BE,AD=AE,若DAE=100, BAC=20,则DAB= .【知识点】三角形全等的判定 “边边边”,全等三角形的性质.【数学思想】数形结合思想.【思路点拨】先利用等式性质证得DB=CE,再得ADBAEC,利用全等三角形性质解决问题.【解题过程】因为CD=BE,所以DB=CE,又因为AB=AC,AD=AE,可得ADBAEC,由全等三角形的性质可知DAB=EAC,又因为DAE=100,BAC=20,所以DAB=40.【答案】40.5如图,AC与BD交于点O,AD=CB,E、F是BD上两点,且AE=CF,DE=BF.求证(1)D=B;(2)AECF【知
27、识点】三角形全等的判定“边边边”,全等三角形的性质.【数学思想】数形结合思想,转化思想.【思路点拨】先证得ADECBF,利用全等三角形性质解决问题.【解题过程】证明:在EAD和FCB中EADFCB(SSS)DB(2)由(1)知:EADFCB DEABFC AEO=180-DEA,CFO=180-BFC, AEOCFO AECF6.如图,已知AB=AE,BC=ED,AC=AD.求证:(1) BE(2)若点F为CD的中点,那么AF与CD有怎样的位置关系?请说明理由.【知识点】三角形全等的判定“边边边”,全等三角形的性质.【数学思想】数形结合思想.【思路点拨】先证得ABCAED,利用全等三角形性质第(1)问,第(2)问通过证明ACFADF来解决.【解题过程】证明:(1)在ABC和AED中ABCAED(SSS)BE.(2)AFCD.理由如下:点F是CD的中点,CF=FD,在ACF和ADF中 ACFADF(SSS)AFCAFD.又AFC+AFD=180, AFCAFD=90,AFCD.