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1、第4讲 均匀各向同性湍流,海洋科学与工程学系 Department of Ocean Science and Engineering,宋 丹,高等流体力学,2,内容,均匀各向同性湍流的相关函数和谱张量 统计理论 均匀各向同性湍流 相关函数和谱张量的性质 相关函数的简化 不可压缩均匀各向同性湍流 动力学方程 Reynolds应力方程 能量传输链,3,引言统计理论 湍流运动在时间和空间上随机，所以要得到湍流场的运动参量，只有采用统计的方法，就像研究气体分子运动一样。 且不管这种观点是否偏颇，长期以来统计方法的确在湍流研究中起了很大作用，得到许多与实验相符合的结果，因而逐渐形成了湍流的统计理论。,4
2、,所谓湍流统计理论就是用流体力学和统计方法研究湍流。从统计观点出发，要完全描述一个随机场就必须掌握无穷多个联合概率分布函数的信息，这对于一般湍流场来说是办不到的，只有在特殊的流场中才能部分地实现。 30年代，Taylor首先提出了一种最简单的理想化湍流模型，即均匀各向同性湍流。,5,因为在该模型中，流场不对任何特定方向存在特殊性，所以流场及其有关变量的相关函数只需要最少数目的量和关系式来描述，因而有可能用统计的方法取得较多的成果。 实际上现有湍流统计理论的成果绝大部分都是建立在均匀各向同性的假设之上得到的。 均匀各向同性包含两层意思：均匀性与各向同性。,6,前者是指湍流场的统计平均量以及与其相
3、关的性质与空间位置无关，即坐标系平移不改变平均值函数；后者则表示湍流的统计平均性质与空间的方向无关，在坐标系的任意旋转与反射下，平均值函数保持不变。 为简单起见，在实际应用中通常都假定 均匀各向同性湍流是对固定坐标系或以一恒定速度运动的坐标系而言的。,7,均匀各向同性湍流虽然是一种理想化模型，但实际流场中确实存在接近于这种理想模型的情况，如风洞实验段核心区的流场、网格后的流场等。 更重要的是，由Kolmogorov的局部各向同性湍流理论可知，在高Re数下，许多从整体上看为非各向同性的流场，在具有小尺度涡量级范围的局部流场内却具有接近于均匀各向同性的特征。即非各向同性湍流的精细结构几乎是各向同性
4、的。,8,此外，对均匀各向同性湍流的了解能为研究非各向同性湍流提供基础和依据，所以研究均匀各向同性湍流具有实际意义。 总之，湍流统计理论从随机性出发，但一个随机场的描述非常困难，所以均匀各向同性假设是必需且合理的。,9,均匀各向同性的相关函数谱张量（1）,均匀湍流,均匀各向同性湍流,如果任意n点空间几何构形在空间中平移时，脉动速度的任意n阶统计相关函数的值不变，则称该湍流场是均匀的,10,均匀各向同性湍流 如果任意n点统计相关函数不仅和几何构形的平移无关，而且和几何构形的刚体转动无关，则称该湍流场是均匀各向同性的,11,理论上，各向同性湍流是一种最简单的湍流，便于做理论和数值上的研究。实际上，
5、严格意义上的各向同性湍流几乎不存在。 研究有两个意义：1）各向同性湍流具有湍流质量、能量输运的基本属性，这些性质对于研究一般湍流十分重要；2）虽然严格意义上的各向同性湍流并不存在，但是远离海面、海岸和海底的浩瀚海洋（大洋内区）中的湍流可以近似为各向同性的。 自20世纪40年代苏联科学家Kolmogorov（1941）提出局部各向同性湍流的概念及其普适湍动能谱，开创了对小尺度湍流脉动一般性质的研究。,12,均匀各向同性的相关函数谱张量（2）,相关函数二阶函数 不可压缩流中的二阶函数,相关函数和谱张量的性质,13,均匀各向同性的相关函数谱张量（3）,不可压缩流中的拟涡能 湍动能耗散率,相关函数和谱
6、张量的性质,14,不可压缩均匀各向同性湍流（1）,谱方程,动力学方程,15,不可压缩均匀各向同性湍流（2）,谱方程的简化,动力学方程,忽略非线性项，得到粘性耗散的作用规律,16,不可压缩均匀各向同性湍流（3）,均匀各向同性湍流中湍动能波数谱演化的方程,17,不可压缩均匀各向同性湍流（8）,能量谱方程,能量传输链,记,湍动能的分布E(k):大尺度脉动含有湍动能的绝大部分，而小尺度脉动含有很少动能（能量的绝大部分在能谱值最大的小波数附近）。 惯性作用的输运T(k):大尺度脉动（小波数）输出能量（T(k)0），小尺度脉动则通过惯性输入能量 湍动能耗散vk2E(k)：小尺度脉动占有湍动能耗散的绝大部分
7、，而大尺度脉动的耗散很少。 上述结果描述了不可压缩各向同性湍流场中湍动能输运的图像:大尺度湍流脉动犹如一个很大的湍动能的蓄能池，它不断地输出能量；小尺度湍流好像一个耗能机械，从大尺度湍流输送来的动能在这里全部耗散掉；流体的惯性犹如一个传送机械，把大尺度脉动动能输送给小尺度脉动。流动的雷诺数愈高，蓄能的大尺度和耗能的小尺度之间的惯性区域愈大。,Big whirl have little whirls Which feed on their velocity Little whirls have small whirls And so on to viscosity 大涡用动能哺育小涡， 小涡照此
8、把儿女养活， 能量沿代代旋涡转递， 但终于耗散在粘滞里。,20,柯尔莫果洛夫提出，湍流能量从大尺度湍涡逐级连续地输送到小尺度湍涡，这个湍能在尺度谱上的流动，一直到最小的内尺度，由分子粘性把它们耗散为热能。 柯尔莫果洛夫认定湍能级串过程是一个连续输送过程，大涡从外界得到的非均匀各向同性，在一代代、一级级地往小尺度湍涡输送过程中被消磨掉，最后可以得到均匀各向同性的小涡。柯尔莫果洛夫从这个物理模型中得到了唯一决定惯性子区间湍涡统计结构的物理因子湍能耗散率。从此出发，人们用量纲分析法就不难得到小尺度湍涡结构函数的2/3 定律， 以及一维湍谱或标量场湍谱的5/3定律。,21,不可压缩均匀各向同性湍流（9
9、）,特征尺度,能量传输链,耗散区,惯性区,惯性子区,在流动的雷诺数很大时，湍动能谱和耗散谱几乎完全分离。如果把各种波数的脉动成分看作不同尺度的湍涡，它可形象地示于（b）,有一股能量以T(k)的速率从大尺度涡向小尺度涡传输。 含能波数kin和含能尺度L 能谱最大值的波数定义为含能波数kin，它的倒数定义为含能尺度L，含能尺度是指该尺度量级内的湍流脉动几乎占有全部的湍动能，在含能尺度范围内，包含总能量k，它向小尺度传递的能量为epsin,它们之间Lk3/2/epsin，在含能尺度范围内，湍动能通过惯性传输能量，而湍动能耗散几乎可以忽略，也就是，含能尺度范围内，惯性主宰湍流运动，因此含能尺度范围又称
10、惯性区。,23,耗散波数和耗散区尺度 只有湍动能耗散、而能量传输几乎为零的波数定义为耗散波数kd，它的倒数定义为耗散区尺度ld。 由量纲分析可以得到 Ld=eta(v3/epslin)1/4, v(epsin*v)1/4 耗散区尺度又称Kolmogorov尺度。在耗散尺度范围内的湍流脉动是粘性主宰的，称为耗散区。,24,惯性子区尺度 在高雷诺数湍流区，含能区和耗散区几乎完全分离，即Leta。这时，把既远离含能区、又远离耗散区的范围定义为惯性子区，惯性子区的尺度用l表示，应有 Etaeta，惯性子区中湍动能耗散不是主要的，湍动能的传输是主要的；由于lL，大尺度含能涡的影响已经十分微弱。 在惯性子区中，湍动能输运为：湍流脉动从大尺度湍涡逐级向小尺度涡传输，湍涡接受大尺度脉动传来的能量而无耗散，它转而把能量传给更小尺度的湍涡，由于惯性子区远离耗散区，这股能量保持它的大小并传到耗散区。,25,Kolmogorov-5/3幂次律 假定 小尺度统计特性由耗散率和流体粘性确定,能量传输链,26,Kolmogorov认为：在某一尺度范围内，湍流脉动可以视作独立于大尺度运动的子系统，一方面有源源不断的能量输入；另一方面又输出动能到耗散区，从而使该系统达到局部的统计平衡态。 能谱曲线的水平段就是在有限雷诺数条件下的惯性子区。可以看到，湍流雷诺数愈高，惯性子区愈宽。,
