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1、二、曲面的切平面与法线,第八章,山东交通学院高等数学教研室,第六节 多元函数微分学的几何应用,一、空间曲线的切线与法平面,复习: 平面曲线的切线与法线,已知平面光滑曲线,切线方程,法线方程,若平面光滑曲线方程为,故在点,切线方程,法线方程,在点,可导，则有,有,因,一、空间曲线的切线与法平面,过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法,位置.,空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限,平面.,此处要求,也是法平面的法向量,切线的方向向量:,称为曲线的切向量 .,如个别为0, 则理解为分子为 0 .,不全为0,因此得法平面方程,例1,求圆柱螺旋线,对应点处的切线方程和法平面方程.,切线
2、方程,法平面方程,即,即,解:,对应的切向量为,在, 切点,时,2 曲线方程为一般式的情况,光滑曲线,当,则曲线上一点, 可表示为,处的切向量为,时,切线方程,法平面方程,例2 求曲线,在点M ( 1,2, 1),处的切线方程与法平面方程.,解:,曲线在点 M(1,2, 1) 处的切向量:,解得,方程组两边对 x 求导得,切线方程,即,法平面方程,即,点 M (1,2, 1) 处的切向量,二、曲面的切平面与法线,设 有光滑曲面,通过其上定点,对应点 M,切线方程为,不全为0 .,则 在,且,点 M 的切向量为,任意引一条光滑曲线,下面证明:,此平面称为 在该点的切平面., 上过点 M 的任何曲
3、线在该点的切线都,在同一平面上.,在 上,证明:,得,令,由于曲线 的任意性 ,表明这些切线都在以,为法向量,的平面上 ,从而切平面存在 .,两边对 t 求导,令,法线方程,切平面方程,曲面 在点 的,法向量,曲面,时,则在点 处,故当函数,法线方程,令,特别, 当光滑曲面 的方程为显式,在点,有连续偏导数时,切平面方程,法向量,用,则法向量的方向余弦：,表示法向量的方向角,并假定法向量方向,向上,例3 求椭球面,在点(1 , 2 , 3) 处的切,平面及法线方程.,解:,所以椭球面在点 (1 , 2 , 3) 处:,切平面方程,即,法线方程,法向量,令,例4 确定正数 使曲面,在点,解:,两
4、曲面在点 M 相切,又点 M 在球面上,于是有,相切.,与球面, 因此有,两曲面在 M 点的法向量分别为,空间光滑曲线,在点M 处的切向量,三、 切向量与法向量的关系,且,故,例5 求曲线,在点(1,1,1) 的切线,解:,因此切线的方向向量为,由此得切线方程:,法平面方程:,即,与法平面.,点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为,1 空间曲线的切线与法平面,切线方程,法平面方程,(1) 参数式情况:,空间光滑曲线,切向量,内容小结,切线方程,法平面方程,空间光滑曲线,切向量,(2) 一般式情况:,或,空间光滑曲面,曲面 在点,法线方程,(1) 隐式情况 :,的法向量,切平面方程,2 曲面的切平面与法线,空间光滑曲面,切平面方程,法线方程,(2) 显式情况:,法线的方向余弦,法向量,思考与练习,1 如果平面,与椭球面,相切,提示:,则,(二法向量平行),(切点在平面上),(切点在椭球面上),设切点为,证明 曲面,上任一点处的,切平面都通过原点.,提示:,则通过此,2 设 f ( u ) 可微 ,证明原点坐标满足上述方程 .,点的切平面为,备用题,在曲面上任意取一点,3 证明曲面,与定直线平行,证明:,取定直线的方向向量为,则,(定向量),故结论成立 .,的所有切平面恒,曲面上任一点的法向量,
