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1、27.2.1 相似三角形的判定,相似多边形的判定：,回顾：,对应角相等，对应边的比相等 的两个多边形为相似多边形.,两个条件要同时具备,对应角相等,三组对应边的比也相等的两个三角形是相似三角形.,相似三角形的判定:,2、ABC与ABC相似比为k, 则ABC与ABC相似比为,ABCABC,符号语言：,在ABC和ABC中，, 对应角_, 对应边的两个三角形, 叫做相似三角形 .,相等,成比例, 相似三角形的, 各对应边。,对应角相等,成比例,A=D, B=E, C=F,回顾,A, ABC DEF,B,C,D,F,E, 相似比: =k,当两个三角形的相似比为 1 时，它们是全等的，全等是相似的一种特
2、殊情况。,相似三角形与全等三角形有什么内在的联系呢？,思考：,任意平移l5，再度量AB,BC，DE,EF的长度. 相等吗？,新课导入,探究1,事实上，当L3/L4/L5时，都可以得到,，还可以得到:,平行线分线段成比例定理：,三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等.,A,B,C,D,E,F,l1,l3,l2,.,.,.,.,.,.,.,.,A,B,C,D,E,F,l1,l3,l2,3,?,4,2,例一,（平行线分线段成比例定理）,A,B,C,D,E,F,l1,l3,l2,例二,注意观察： 此图与前面图形有何不同？,（平行线分线段成比例定理）,如图，l3l4 l5 ,请指出成比例的线段.,
3、练习：,平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等.,平行线分线段成比例定理推论：,三角形的中位线截得的三角形与原三角形是否相似？,探究2,提出问题： 如图，在ABC中，点D是边AB的中点，DEBC，DE交AC于点E ， ADE与ABC有什么关系？,思考: 改变点D在AB上的位置，请猜想ADE与ABC是否相似? 说明理由.,如图，在正ABC中,点D为AB中点,过点D作DEBC交AC于点E,则ADE与ABC相似吗?,探索发现：, DEBC,ADEABC,D,E,变式1：如图，在ABC中,点D为AB中点,过点D作DEBC交AC于点E,则ADE与ABC相似吗?,探索发
4、现：, DEBC,ADEABC,变式2：如图，若点D是AB边上的任意一点, 过点D作DEBC，量一量，检验ADE与ABC是否相似。, DEBC,ADEABC,变式3：若点D是BA延长线上的一点,过点D作DEBC，与CA的延长线交于点E，ADE与ABC相似吗?, DEBC,ADE ABC,如图，已知DE BC, 则,故ADE ABC,若DE BC则DAE=BAC, ADE= A BC, AED=ACB,若DE AB 则 A=D, B=E, ACB=DCE,若ABC DEC,从上面的解答中，你获得了那些信息？,平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似.,
5、预备定理,相似三角形的预备定理：,平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。,平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。,判定三角形相似的预备定理：（简称：平行线）,在ABC中， DEBC,ADEABC,符号语言：,“A”型,“X”型,1、如图,已知EFCDAB，请尽可能多地找出图中的相似三角形，并说明理由。,练习：,三角形相似具有传递性!,1. EFAB,2.EFCD,OABOCD,OEFOCD,OEFOAB,3.ABCD,OABOCD,练习：,三角形相似具有传递性!,1. DEBC,2.DFAC,ADEDBF,DBFABC,ADEAB
6、C,这是两个极具代表性的 相似三角形基本模型：“A”型和“X” 型,这个两个模型在今后学习的过程中作用很大,你可要认真噢！,平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交。所构成的三角形与原三角形相似。,相似三角形判定的预备定理：, DEBC,ADEABC,相似具有传递性,ADEABC,M,N,如果再作 MNDE ，共有多少对相似三角形？,AMNADE,AMNABC,共有三对相似三角形。,已知：,ABCA1B1C1.,求证：,证明：在线段 （或它的延长线）上截取 ，过点D作 ，交 于点E根据前面的定理可得 .,D,E,又,D,E,（SSS）,三角形相似判定定理1,理解,例1：,解：,1
7、.根据下列条件判断ABC与以D、E、F为顶点的两个三角形是否相似。,(1)AB=3，BC=4，AC=6； DE=6，EF=8，DF=12,(3)AB=3，BC=4，AC=6； DE=6，EF=9，DF=12,(2)AB=3，BC=4，AC=6； DE=6，EF=8，DF=12,ABCDEF,ABC,不 相 似,EDF,DE=6，EF=12，DF=8,ABCDEF,小练习,求证：BAD=CAE。,ABCADE BAC=DAE BACDAC =DAEDAC 即BAD=CAE,小练习,2.已知：,解：,延伸,3 .求证：三角形的三条中位线所组成的三角形 与原三角形相似。,已知：,求证：,如图,DE,
8、DF,EF是ABC的中位线,ABCFED,证明：, DE,DF,EF是ABC的中位线, DE= BC,DF= AC,EF= AB, ABCDEF,延伸,4.已知：,如图,DE,DF,EF是ABC的中位线。,(1)请找出图中的相似三角形。,你能证明吗？,探索新知 观察图，如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么位置才能使ADE与ABC相似呢？,如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似吗？,知识探索,类比猜想:我们在判断两个三角形全等时，使用了哪些方法？判断三角形相似是否有类似的方法呢？,活动：利用刻度尺和量角器画两个三角形，使它们的两条对应边成
9、比例，并且夹角相等量一量第三条对应边的长，计算它们的比与前两条对应边的比是否相等另两个角是否对应相等？你能得出什么结论？,A,B,C,D,E,F,如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似( 简单的说成：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 ),两边对应成比例且夹角相等的两个 三角形相似,A,B,C,在 ABC与DEF中, B=E，,D,E,F, ABC DEF,(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似),上述判定方法中的“角”一定只能是两对应边的夹角吗？,我爱思考,想一想：在上述问题中如果这个角是这两条边中其中一条边的对角呢,两个三角形还
10、一定相似吗？,50,),4,A,B,2,1.6,50,),两边对应成比例且一边的对角对应相等的两三角形不一定相似,例题解析,例3证明如图AEB和FEC相似,证明,，,AEBFEC（如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似）,AEBFEC，,理解,1.,2.图中两个三角形是否相似？,6,3,10,5,C,A,B,E,E,2,6,9,3,4,14,相似,不相似,相似,不相似,小练习,例3. 右图中的两个三角形相似吗？理由是什么？,要制作两个形状相同的三角形框架，其中一 个三角形框架的三边长分别为4，6，8。另一个三角形框架的一边长为2，它的别外两条
11、边长应当是多少？你有几种答案？,4.,提示：三种选法，分别使另一个三角形的长 为2的边与长为4，6，8的边对应。,2:4=x:6=y:8 x:4=2:6=y:8 x:4=y:6=2:8,A,B,C,A,B,C,三角形相似判定定理3,如果两个三角形有一个内角对应相等，那么这两个三角形一定相似吗？,一角对应相等的两个三角形不一定相似。,ACD CBD ABC,小练习,找出图中所有的相似三角形。,“双垂直”三角形,有三对相似三角形： ACD CBD CBD ABC ACD ABC,已知：,ABCA1B1C1.,求证：,你能证明吗？,RtABC 和 RtA1B1C1.,如果一个直角三角形的斜边和一条直
12、角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。,判定三角形相似的定理4,ABCA1B1C1.,即： 如果,那么,RtABC 和 RtA1B1C1.,课堂小结,1. 相似图形三角形的判定方法：,通过定义（三边对应成比例，三角相等）,相似三角形判定的预备定理,三边对应成比例，两三角形相似,两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似,两角对应相等，两三角形相似,两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比 例，两直角三角形相似,A型,X型,对应角相等。 对应边成比例。,2. 相似三角形的性质：,（1）所有的等腰三角形都相似。 （2）所有的等腰直角三角形都相似。 （3）所有的等边三角形都相似。 （4）所有的直角三角形都相似。 （5）有一个角是100 的两个等腰三角形都相似。 （6）有一个角是70 的两个等腰三角形都相似。 （7）若两个三角形相似比为1，则它们必全等。 （8）相似的两个三角形一定大小不等。,1. 判断下列说法是否正确？并说明理由。,随堂练习,再见,
