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1、1,第一节(2),常数项级数的审敛法,2,1.2正项级数的审敛准则,若,定理 1.2 正项级数,收敛,部分和数列,有界 .,若,收敛 ,部分和数列,有界,故,从而,又已知,故有界.,则称,为正项级数 .,单调递增,收敛 ,也收敛.,特点:部分和单调增.,3,定理1.3 (比较审敛法I),设,并且,(1) 若,则,(2) 若,则,证:,收敛 ,也收敛 ;,发散 ,也发散 .,分别表示两个级数的部分和,是两个正项级数,证明的基本思路与无穷积分的比较准则I相同.,由于(2)是(1)的逆否命题，因此只证明(1)即可.,根据定理1.2, 级数,必收敛.,5,推论,设,且存在,对一切,有,(1) 若强级数
2、,则弱级数,(2) 若弱级数,则强级数,收敛 ,也收敛 ;,发散 ,也发散 .,是两个正项级数,(常数 k 0 ),6,证明级数,发散 .,证: 因为,而级数,发散,根据比较审敛法可知,所给级数发散 .,例1.,7,定理1.4 (比较审敛法的极限形式),则有,两个级数同时收敛或发散 ;,(2) 当 l = 0,(3) 当 l =,设两正项级数,满足,(1) 当 0 l 时,注:,un , vn均为无穷小时, l 的值反映了它们不同阶的比较.,8,的敛散性.,例3. 判别级数,的敛散性 .,解:,根据比较审敛法的极限形式知,例4. 判别级数,解:,根据比较审敛法的极限形式知,9,例1.6 讨论下
3、列级数的敛散性 .,(1),(2),例1.7 判别级数的敛散性,思路：找出另一个级数与之作比较,找出与级数的通项的同阶无穷小量，,寻找另一个级数,的关键，在于寻找同阶，低阶，高阶无穷小量,就是找到比较,的级数了.,10,时的无穷小量.,解:,显然，该级数的通项an是,所以，它与,例1.7 判别级数,的敛散性,为了分析它的阶数，利用ln(1+x) 在 x=0 处的二阶,Taylor 公式：,是同阶无穷小,而级数,故原级数收敛,11,定理1.5(积分判别法）,函数,则级数,与无穷积分,12,例1.8,注:定理1.5中的无穷积分的积分区间,可换成,其中N是任意的正整数.,解,13,例1.9,无论是比
4、较准则还是积分准则,在使用的时候都必须借助,解,于敛散性已知的级数或反常积分,因此很不方便.下面两种,审敛准则,却是利用级数自身的条件来判断级数敛散性的.,14,定理1.6 比值审敛法(Dlembert(达朗贝尔)判别法),设,为正项级数, 且,则,(1) 当,(2) 当,证: (1),收敛 ,时, 级数收敛 ;,或,时, 级数发散 .,由比较审敛法可知,15,因此,所以级数发散.,时,(2)当,说明: 当,时,级数可能收敛也可能发散.,例如, p 级数,但,级数收敛 ;,级数发散 .,从而,16,例5. 讨论级数,的敛散性 .,解:,根据定理1.6可知:,级数收敛 ;,级数发散 ;,17,定
5、理1.7 根值审敛法(Cauchy判别法),设,为正项,则,级数, 且,18,时 , 级数可能收敛也可能发散 .,例如 , p 级数,说明 :,但,级数收敛 ;,级数发散 .,检比法,与检根法. .,19,例1.10 用适当方法判定下列正项级数的敛散性.,解,(1) 用检比法. 由于,故该级数收敛.,(2) 用检根法. 由于,故该级数发散.,20,(3) 用比较准则II. 由于,(4) 比较准则I. 由于,注:级数敛散性的审敛准则共有5个,都是充分条件.,还有级数收敛与发散的定义, 收敛级数的性质等, 做题,时要灵活运用. 一种方法不行就换其它方法.,21,1.3 变号级数的审敛准则,则各项符
6、号正负相间的级数,称为交错级数 .,定理6 . ( Leibnitz 判别法 ),若交错级数满足条件:,则级数,收敛 , 且其和,其余项满足,22,证:,是单调递增有界数列,又,故级数收敛于S, 且,故,23,收敛,收敛,用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:,收敛,上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?,发散,收敛,收敛,24,例1.11 研究级数,解,显然该级数满足Leibniz准则的条件, 因此,当p0,下面证明,交错级数,易见上式右端的前n项之和就是级数,的敛散性.,时收敛,特别地,当p=1时,级数也是收敛的.,的和为ln2, 并估计用,部分和近似代替级数和时所产生的余
7、项误差.,的部分和,并且,25,Leibniz判别法是判别交错级数收敛的充分条件,故级数,的和,很多的交错级数和变号级数不能用此法判别.下面的,绝对收敛准则是更常用的一种判别法.,26,绝对收敛与条件收敛,定义: 对任意的级数,若,若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散,收敛 ,数,为条件收敛 .,均为绝对收敛.,例如 ：,绝对收敛 ；,则称原级,数,条件收敛 .,则称原级,27,定理1.9 若级数,证: 因为,根据级数的Cauchy收敛原理，,收敛.,收敛 ,收敛, 则级数,也收敛,若级数绝对收敛，则必收敛.,28,例7. 证明下列级数绝对收敛 :,证: (1),而,收敛 ,收敛,因此,绝
8、对收敛 .,29,(2) 令,因此,收敛,绝对收敛.,小结,30,例1.12 讨论级数的敛散性,若收敛,是否绝对收敛?,证: (1),而,收敛 ,31,其和分别为,绝对收敛级数的性质,定理1.10 绝对收敛级数重排后仍绝对收敛,而且和不变.,(P275 定理),(证明见 P275P277),定理1.11. ( 绝对收敛级数的乘法 ),则对所有乘积,按任意顺序排列得到的级数,也绝对收敛,设级数,与,都绝对收敛,其和为,(P277 定理),说明: 绝对收敛级数有类似有限项和的性质,但条件收敛级数不具有这两条性质.,绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.,32,THE END,33,内容小结
9、,2. 判别正项级数敛散性的方法与步骤,必要条件,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,34,3. 任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz判别法:,则交错级数,收敛,概念:,绝对收敛,条件收敛,35,思考与练习,设正项级数,收敛,能否推出,收敛 ?,提示:,由比较判敛法可知,收敛 .,注意:,反之不成立.,例如,收敛 ,发散 .,36,备用题,1. 判别级数的敛散性:,解: (1),发散 ,故原级数发散 .,不是 p级数,(2),发散 ,故原级数发散 .,37,作业 P266 1 (1), (3), (5) ; 2 (2), (3), (4) ; *3 (1), (2) ; 4 (1), (3), (5), (6) ; 5 (2), (3), (5),第三节,38,2.,则级数,(A) 发散 ; (B) 绝对收敛;,(C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定.,分析:, (B) 错 ;,又,C,
