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1、常系数非齐次线性微分方程,第九节,一、,二、,二阶常系数线性非齐次微分方程 :,根据解的结构定理 , 其通解为,求特解的方法,根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 ., 待定系数法,一、, 为实数 ,设特解为,其中 为待定多项式 ,代入原方程 , 得,(1) 若 不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为,为 m 次多项式 .,Q (x) 为 m 次待定系数多项式,例1.,的一个特解.,解: 本题,而特征方程为,不是特征方程的根 .,设所求特解为,代入方程 :,比较系数, 得,于是所求特解为,例2.,的通解.,解: 本题,特征方程为,其根为,对应
2、齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数, 得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,例3. 求解定解问题,解: 本题,特征方程为,其根为,设非齐次方程特解为,代入方程得,故,故对应齐次方程通解为,原方程通解为,由初始条件得,于是所求解为,解得,二、,对非齐次方程,则可设特解:,其中,为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.,例4.,的一个特解 .,解: 本题,特征方程,故设特解为,不是特征方程的根,代入方程得,比较系数 , 得,于是求得一个特解,例5.,的通解.,解:,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,比较系数, 得,因此特解为,代入方程
3、:,所求通解为,为特征方程的单根 ,因此设非齐次方程特解为,例6.,解: (1) 特征方程,有二重根,所以设非齐次方程特解为,(2) 特征方程,有根,利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为,设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:,内容小结, 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,则设特解为,为特征方程的 k (0, 1 )重根,则设特解为,3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.,思考与练习,时可设特解为,时可设特解为,提示:,1 . (填空) 设,2. 求微分方程,的通解 (其中,为实数 ) .,解: 特征方程,特征根:,对应齐次方程通解:,时,代入原方程得,故原方程通解为,时,代
4、入原方程得,故原方程通解为,3. 已知二阶常微分方程,有特解,求微分方程的通解 .,解: 将特解代入方程得恒等式,比较系数得,故原方程为,对应齐次方程通解:,原方程通解为,欧拉方程,常系数线性微分方程,欧拉方程的算子解法:,则,则由上述计算可知:,用归纳法可证,于是欧拉方程,转化为常系数线性方程:,例1.,解:,则原方程化为,亦即,其根,则对应的齐次方程的通解为,特征方程, 的通解为,换回原变量, 得原方程通解为,设特解:,代入确定系数, 得,例2.,解:,将方程化为,(欧拉方程),则方程化为,即,特征根:,设特解:,代入 解得 A = 1,所求通解为,例3.,解: 由题设得定解问题,则化为,特征根:,设特解:,代入得 A1,得通解为,利用初始条件得,故所求特解为,
