《D96几何中的应用67054教学教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《D96几何中的应用67054教学教案（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,第六节,复习 目录 上页 下页 返回 结束,二、空间曲线的切线与法平面,三、曲面的切平面与法线,多元函数微分学的几何应用,第九章,一、一元向量值函数及其导数,一、一元向量值函数及其导数,对于空间曲线的的参数方程,若记,则(1)可表示为向量形式,(2)确定了一个映射,它将每一个,映成一个向量,因此，将此映射叫做一元向量值函数。,定义 设数集,则称映射,为一元向量值函数，记为,其中D为定义域，t 为自变量，,为因变量。,一元向量值函数是普通一元函数的推广，其自变量,仍取实数值，而因变量n 维向量。一元向量值函数简称,向量值函数，而将普通实值函数称为数量函数。,在R3中，若向量函数,的分量函数依次
2、为,则向量函数可表为,或,可以证明：,定义2 设向量值函数,如果,则称向量值函数 在 连续。,可以证明：向量值函数在某点连续的充要条件是其,各分量函数都在该点连续。,若向量值函数在某区域上每一点都连续，则称它在,该区域上连续，或称其为该区域上的连续函数。,定义3 设向量值函数,如果,存在，则称其为向量值函数在该点处的导数或导向量。,此时也称向量值函数在该点可导。,若向量值函数在某区域上每一点都可导，则称它在,该区域上可导。,可以证明：向量值函数在某点可导的充要条件是其,各分量函数都在该点可导。且,向量值函数的导数运算法则与数量函数的导数运算,法则在形式上相同，参见92面，其证明也可仿照数量函,
3、函数的导数运算法则，或对向量值函数的分量运用对应,的法则证明。,导向量的几何意义（92面）：,O,x,y,z,M,N,导向量是点M处的一个切向量，,其方向与t 的增长方向一致。,导向量的物理意义（93面）：,速度向量、加速度向量。,例1 设,解,例2 空间曲线的向量方程为,求曲线在点 t = 2 相应点处的单位切向量。,解,于是由导数的几何意义知，曲线在点 t = 2 相应点处,的单位切向量为,和,前者指向与t 的增长方向一致，后者相反。,例3 一人在悬挂式滑翔机上由于快速上升气流而沿,位置向量,的路径螺旋式,向上，求(1)滑翔机在任意时刻t 的速度、加速度向量：,(2)滑翔机在任意时刻t 的
4、速率（速度的大小）：,(3)滑翔机的加速度与速度正交的时刻：,复习: 平面曲线的切线与法线,已知平面光滑曲线,切线方程,法线方程,若平面光滑曲线方程为,故在点,切线方程,法线方程,在点,有,有,因,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、空间曲线的切线与法平面,过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,位置.,空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限,平面.,点击图中任意点动画开始或暂停,1. 曲线方程为参数方程的情况,切线方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,此处要求,也是法平面的法向量,切线的方向向量:,称为曲线的切向量 .,如个别为0,
5、 则理解为分子为 0 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,不全为0,因此得法平面方程,说明: 若引进向量函数, 则 ,处的导向量,就是该点的切向量.,例1.,求圆柱螺旋线,对应点处的切线方程和法平面方程.,切线方程,法平面方程,即,即,解: 由于,对应的切向量为,在,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 故,2. 曲线为一般式的情况,光滑曲线,当,曲线上一点, 且有,时, 可表示为,处的切向量为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则在点,切线方程,法平面方程,有,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,也可表为,法平面方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求曲线,在点,M (
6、 1,2, 1) 处的切线方程与法平面方程.,切线方程,解法1 令,则,即,切向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,法平面方程,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法2. 方程组两边对 x 求导, 得,曲线在点 M(1,2, 1) 处有:,切向量,解得,切线方程,即,法平面方程,即,点 M (1,2, 1) 处的切向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、曲面的切平面与法线,设 有光滑曲面,通过其上定点,对应点 M,切线方程为,不全为0 .,则 在,且,点 M 的切向量为,任意引一条光滑曲线,下面证明:,此平面称为 在该点的切平面.,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 上过点
7、M 的任何曲线在该点的切线都,在同一平面上.,证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在 上,得,令,由于曲线 的任意性 ,表明这些切线都在以,为法向量,的平面上 ,从而切平面存在 .,曲面 在点 M 的法向量,法线方程,切平面方程,复习 目录 上页 下页 返回 结束,曲面,时,则在点,故当函数,法线方程,令,特别, 当光滑曲面 的方程为显式,在点,有连续偏导数时,切平面方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,法向量,用,将,法向量的方向余弦：,表示法向量的方向角,并假定法向量方向,分别记为,则,向上,复习 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求球面,在点(1 , 2 , 3) 处的切,
8、平面及法线方程.,解:,所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有:,切平面方程,即,法线方程,法向量,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 确定正数 使曲面,在点,解: 二曲面在 M 点的法向量分别为,二曲面在点 M 相切, 故,又点 M 在球面上,于是有,相切.,与球面,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 因此有,1. 空间曲线的切线与法平面,切线方程,法平面方程,1) 参数式情况.,空间光滑曲线,切向量,内容小结,机动 目录 上页 下页 返回 结束,切线方程,法平面方程,空间光滑曲线,切向量,2) 一般式情况.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,空间光滑曲面,曲面 在点,法
9、线方程,1) 隐式情况 .,的法向量,切平面方程,2. 曲面的切平面与法线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,空间光滑曲面,切平面方程,法线方程,2) 显式情况.,法线的方向余弦,法向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 如果平面,与椭球面,相切,提示: 设切点为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(二法向量平行),(切点在平面上),(切点在椭球面上),证明 曲面,上任一点处的,切平面都通过原点.,提示: 在曲面上任意取一点,则通过此,2. 设 f ( u ) 可微,第七节 目录 上页 下页 返回 结束,证明原点坐标满足上述方程 .,点的切平面为,1. 证明曲面,与定直线平行,证: 曲面上任一点的法向量,取定直线的方向向量为,则,(定向量),故结论成立 .,的所有切平面恒,备用题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 求曲线,在点(1,1,1) 的切线,解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为,因此切线的方向向量为,由此得切线:,法平面:,即,与法平面.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
