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1、,转化,可分离变量微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第二节,解分离变量方程,可分离变量方程,第十二章,分离变量方程的解法:,设 y (x) 是方程的解,两边积分, 得,则有恒等式,当G(y) 与F(x) 可微且 G(y) g(y)0 时,说明由确定的隐函数 y(x) 是的解.,则有,称为方程的隐式通解, 或通积分.,同样,当F(x),= f (x)0 时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x(y) 也是的解.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 求微分方程,的通解.,解: 分离变量得,两边积分,得,即,( C 为任意常数 ),或,说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此
2、可能增、,减解.,( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求下述微分方程的通解:,解: 令,则,故有,即,解得,( C 为任意常数 ),所求通解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习:,解法 1 分离变量,即,( C 0 ),解法 2,故有,积分,( C 为任意常数 ),所求通解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.,成正比,求,解: 根据牛顿第二定律列方程,初始条件为,对方程分离变量,然后积分 :,得,利用初始条件, 得,代入上式后化简, 得特解,并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气
3、阻力与速度,降落伞下落速度与时间的函数关系.,t 足够大时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 有高 1m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出,开始时容器内盛满了水,从小孔流出过程中, 容器里水面的高度 h 随时间 t 的变,解: 由水力学知, 水从孔口流出的流量为,即,求水,小孔横截面积,化规律.,设在,内水面高度由 h 降到,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对应下降体积,因此得微分方程定解问题:,将方程分离变量:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,两端积分, 得,利用初始条件, 得,因此容器内水面高度 h 与时间 t 有下列关系:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小
4、结,1. 微分方程的概念,微分方程;,定解条件;,2. 可分离变量方程的求解方法:,说明: 通解不一定是方程的全部解 .,有解,后者是通解 , 但不包含前一个解 .,例如, 方程,分离变量后积分;,根据定解条件定常数 .,解;,阶;,通解;,特解,y = x 及 y = C,机动 目录 上页 下页 返回 结束,找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.,常用的方法:,1) 根据几何关系列方程 ( 如: P263,5(2) ),2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例4 ),3) 根据微量分析平衡关系列方程 ( 如: 例5 ),(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.,(3) 求通解, 并根据定解条件确定特解.,3. 解微分方程应用题的方法和步骤,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,求下列方程的通解 :,提示:,(1) 分离变量,(2) 方程变形为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
