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1、圆锥曲线解题类型全归纳招式一：弦的垂直平分线问题2招式二：动弦过定点的问题4招式四：共线向量问题6招式五：面积问题13招式六：弦或弦长为定值、最值问题16招式七：直线问题20招式八：轨迹问题24招式九：对称问题31招式十、存在性问题34招式一：弦的垂直平分线问题例题1、过点T(-1,0)作直线与曲线N ：交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(,0)，使得是等边三角形，若存在，求出；若不存在，请说明理由。解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线，。由消y整理，得 由直线和抛物线交于两点，得即 由韦达定理，得：。则线段AB的中点为。线段的垂直平分线方程为：令y=0,得，则为正三角形，到直
2、线AB的距离d为。解得满足式此时。【涉及到弦的垂直平分线问题】 这种问题主要是需要用到弦AB的垂直平分线L的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB的中点坐标M，结合弦AB与它的垂直平分线L的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L的方程，然后解决相关问题，比如：求L在x轴y轴上的截距的取值范围，求L过某定点等等。有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB的中点问题，比如：弦与某定点D构成以D为顶点的等腰三角形（即D在AB的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB关于直线m对称等等。例题分析1：已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于解：设直线的
3、方程为，由，进而可求出的中点，又由在直线上可求出，由弦长公式可求出招式二：动弦过定点的问题例题2、已知椭圆C：的离心率为，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求椭圆的方程；（II）若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论解：（I）由已知椭圆C的离心率，,则得。从而椭圆的方程为（II）设，直线的斜率为,则直线的方程为，由消y整理得是方程的两个根，则，即点M的坐标为，同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为，直线MN的方程为：，令y=0，得，将点M、N的坐标代入，化
4、简后得：又，椭圆的焦点为，即故当时，MN过椭圆的焦点。招式三：过已知曲线上定点的弦的问题例题4、已知点A、B、C是椭圆E： 上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O，且，如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；(II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线对称，求直线PQ的斜率。 解：(I) ，且BC过椭圆的中心O又点C的坐标为。A是椭圆的右顶点，则椭圆方程为：将点C代入方程，得，椭圆E的方程为(II) 直线PC与直线QC关于直线对称，设直线PC的斜率为，则直线QC的斜率为，从而直线PC的方程为：，即，由消y，整理得：是方程的一个根，即同理可得：则直线PQ的斜
5、率为定值。招式四：共线向量问题1：如图所示，已知圆为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足的轨迹为曲线E.I）求曲线E的方程；II）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足，求的取值范围.解：（1）NP为AM的垂直平分线，|NA|=|NM|又动点N的轨迹是以点C（1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为焦距2c=2. 曲线E的方程为 （2）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为得设 ，又当直线GH斜率不存在，方程为 2：已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）
6、过椭圆C 的右焦点作直线交椭圆C于、两点，交轴于点，若， ，求证：.解：设椭圆C的方程为 （）抛物线方程化为，其焦点为， 则椭圆C的一个顶点为，即 由，椭圆C的方程为 （2）证明：右焦点，设，显然直线的斜率存在，设直线的方程为 ，代入方程 并整理，得， 又，而 ， ，即，所以 3、已知OFQ的面积S=2, 且。设以O为中心，F为焦点的双曲线经过Q， ，当取得最小值时，求此双曲线方程。解：设双曲线方程为， Q（x0, y0）。 ， SOFQ=，。=c(x0c)=。当且仅当，所以。类型1求待定字母的值例1设双曲线C：与直线L：x+y=1相交于两个不同的点A、B，直线L与y轴交于点P，且PA=，求的
7、值思路：设A、B两点的坐标，将向量表达式转化为坐标表达式，再利用韦达定理，通过解方程组求a的值。 解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(0,1)PA= x1=.联立消去y并整理得，(1a2)x2+2a2x2a2=0(*)A、B是不同的两点，0a且a1. 于是x1+x2= 且x1 x2=，即，消去x2得，=，a=，0a且a1，a=。类型2求动点的轨迹例2如图2 ，动直线与y轴交于点A，与抛物交于不同的两点B和C, 且满足BP=PC， AB=AC，其中。求POA的重心Q的轨迹。思路：将向量表达式转化为坐标表达式，消去参数获得重心Q的轨迹方程，再运用判别式确定实数k的取值范围，从而确定轨迹的
8、形状。ABCOPxy解：由得，k2x2+(2k1)x+4=0.由设P(x,y)，B(x1，y1)，C(x2,y2)， （图2）则x1+x2=, x1.x2=.由= = 由 =。 消去k得， x2 y6=0 (*) 设重心Q(x,y)，则，代入(*)式得，3x6y4=0。因为故点Q的轨迹方程是3x6y4=0（），其轨迹是直线3x6y4=0上且不包括点的线段AB。类型3证明定值问题例3已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线。设M为椭圆上任意一点，且，其中证明：为定值。思路：设A、B、M三点的坐标，将向量间的共线关系、和差关系转化为代数关系
9、，再利用方程组、韦达定理、点在椭圆上满足方程等证明定值。解：设椭圆方程为 则直线AB的方程为代入椭圆方程中，化简得，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则由 与共线，得，。又而于是。因此椭圆方程为设M(x, y), 由得，因M为椭圆上一点，所以 即 又，则 而代入得，=1，为定值。类型4探索点、线的存在性例4在ABC中，已知B(2, 0), C(2, 0), ADBC于D，ABC的垂心H分有向线段AD 设P(1, 0), Q(1, 0), 那么是否存在点H，使成等差数列，为什么？思路：先将ACBH转化为代数关系，由此获得动点H的轨迹方程；再将向量的长度关系转化为代数（坐标）关系，通过解代数方
10、程组获解。解： 设H(x, y), 由分点坐标公式知H为垂心 ACBH，整理得，动点H的轨迹方程为 。 ， ， 。假设成等差数列，则 即 H在椭圆上 a=2, b=, c=1，P、Q是焦点，即 由得， 联立、可得，显然满足H点的轨迹方程，故存在点H（0，），使成等差数列。类型5求相关量的取值范围 例5给定抛物线C：，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点，且，求l在轴上截距的变化范围。思路：设A、B两点的坐标，将向量间的共线关系转化为坐标关系，再求出l在轴上的截距，利用函数的单调性求其变化范围。解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由得，即 由得， 。 联立、得，。而当直线l垂直
11、于轴时，不符合题意。因此直线l的方程为或直线l在轴上的截距为或由知，在上递减的，所以 于是直线l在轴上截距的变化范围是存在、向量例6、双曲线，若上存在一点。解：方程为，即。由，消去y得，定值问题例7：是抛物线上的两点，满足（为坐标原点），求证：（1）两点的横坐标之积、纵坐标之积分别是定值；（2）直线经过一定点。分析：（1）设，则又由 （2）直线的方程为，故直线过定点。招式五：面积问题例题1、已知椭圆C：（ab0）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为。（）求椭圆C的方程；（）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值。解：（）设椭圆的半焦距为，依题意，所求
12、椭圆方程为。（）设，。（1）当轴时，。（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为。由已知，得。把代入椭圆方程，整理得，。当且仅当，即时等号成立。当时，综上所述。当最大时，面积取最大值。2、已知椭圆C:=1(ab0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.()求椭圆C的方程;()设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值.解：（）设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为（）设，（1）当轴时，（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为由已知，得把代入椭圆方程，整理得，当且仅当，即时等号成立当时，综上所述当最大时，面积取最大值3、已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆
13、于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为（）设点的坐标为，证明：；（）求四边形的面积的最小值解：（）椭圆的半焦距，由知点在以线段为直径的圆上，故，所以，（）（）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得设，则，；因为与相交于点，且的斜率为，所以，四边形的面积当时，上式取等号（）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积综上，四边形的面积的最小值为招式六：弦或弦长为定值、最值问题1、已知的面积为，（1）设，求正切值的取值范围；（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图）， 当 取得最小值时，求此双曲线的方程。解析：（1）设 （2）设所求的双曲线方程为，又，当且仅当时，最小，此时的坐标是或 ，所求方程为2、已知椭圆两焦点分别为F1、F2，P是椭圆在第一象限弧上一点，并满足，过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点.（）求P点坐标；（）求证直线AB的斜率为定值；（）求PAB面
