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1、 函数综合题分类复习题型一：关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开），极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知；不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值（请同学们参考例5）；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值-题型特征恒成立恒成立；参考例4；例1.已知函数，是的一个极值点（）求的单调递增区间；（）若当时，恒成立，求的取值范围例2.已知函数的图
2、象过点.（1）若函数在处的切线斜率为，求函数的解析式；（2）若，求函数的单调区间。例3.设。（1） 求在上的值域；（2）若对于任意，总存在,使得成立,求的取值范围。例4.已知函数图象上一点的切线斜率为，（）求的值； （）当时，求的值域；（）当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。例5.已知定义在上的函数在区间上的最大值是5，最小值是11.（）求函数的解析式；（）若时，恒成立，求实数的取值范围.例6.已知函数，在时有极值0，则 例7.已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数（1） 若函数在处有极值，求的解析式；（2） 若函数在区间上为增函数，且在区间上都成立，求实数的取值范围答案：1、解
3、：（）. 是的一个极值点，是方程的一个根，解得. 令，则，解得或. 函数的单调递增区间为，. （）当时，时，在（1，2）上单调递减，在（2，3）上单调递增. 是在区间1，3上的最小值，且 . 若当时，要使恒成立，只需， 即，解得 . 2、解：（） 由题意知，得 （） ， 由解得或，由解得 10 的单调增区间为：和；的单调减区间为： 12分3、解：(1)法一:(导数法) 在上恒成立. 在0,1上增，值域0,1。 法二:, 复合函数求值域. 法三:用双勾函数求值域. (2)值域0,1，在上的值域. 由条件,只须，.特别说明：要深刻理解本题的题意及子区间的解题思路，联想2008年全国一卷第21题，那
4、是单调区间的子区间问题；4、解：（）， 解得（）由（）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减又 的值域是（）令要使恒成立，只需，即（1）当时 解得；（2）当时 ；（3）当时解得；综上所述所求t的范围是特别说明：分类与整合，千万别忘了整合即最后要写“综上可知”，分类一定要序号化；5、解：（） 令=0,得 因为，所以可得下表：0+0-极大 因此必为最大值,因此， ， 即， （），等价于， 令，则问题就是在上恒成立时，求实数的取值范围，为此只需，即， 解得，所以所求实数的取值范围是0，1. 6、11 （ 说明：通过此题旨在提醒同学们“导数等于零”的根不一定都是极值点，但极值点一定是“导数等于零
5、”方程的根；）7、解：，由有，即切点坐标为，切线方程为，或，整理得或，解得，。（1），在处有极值，即，解得，（2）函数在区间上为增函数，在区间上恒成立，又在区间上恒成立，即，在上恒成立，的取值范围是 题型二：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与x轴即方程根的个数问题；（1）已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种：第一种：转化为恒成立问题即在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题；用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（看是否在0的同侧），如果是同侧则不必分类讨论；若在0的两侧，则必须分类讨论，要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变呀！有时分离变量解不出来，
6、则必须用另外的方法；第二种：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；参考08年高考题；第三种方法：利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置；可参考第二次市统考试卷；特别说明：做题时一定要看清楚“在（a,b）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别；请参考资料高考教练83页第3题和清明节假期作业上的第20题（金考卷第5套）；（2）函数与x轴即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”
7、；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；第三步：解不等式（组）即可；例8已知函数，且在区间上为增函数（1）求实数的取值范围；（2）若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围例9.已知函数 （I）讨论函数的单调性。 （II）若函数在A、B两点处取得极值，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围。例10已知函数f(x)x3ax24x4a，其中a为实数()求导数(x)；()若(1)0，求f(x)在2，2上的最大值和最小值；()若f(x)在(，2和2，)上都是递增的，求a的取值范围例11.已知：函数（I）若函数的图像上存在点，使点处的切线与轴平
8、行，求实数 的关系式；（II）若函数在和时取得极值且图像与轴有且只有3个交点，求实数的取值范围.例12设为三次函数，且图像关于原点对称，当时， 的极小值为（）求的解析式；（）证明：当时，函数图像上任意两点的连线的斜率恒大于0例13在函数图像在点（1，f（1）处的切线与直线平行，导函数的最小值为12。（1）求a、b的值；（2）讨论方程解的情况（相同根算一根）。例14已知定义在R上的函数，当时，取得极大值3，. （）求的解析式；（）已知实数能使函数上既能取到极大值，又能取到极小值，记所有的实数组成的集合为M.请判断函数的零点个数.例15.已知函数的单调减区间为（0，4） （I）求的值； （II）若
9、对任意的总有实数解，求实数的取值范围。例16.已知函数是常数，且当和时，函数取得极值.（）求函数的解析式；（）若曲线与有两个不同的交点，求实数的取值范围.例17.已知函数正项数列满足：，点在圆上， ks5u（）求证：； （）若，求证：是等比数列；（）求和：例18.函数（、为常数）是奇函数。ks5u（）求实数的值和函数的图像与轴交点坐标；（）设，求的最大值.例19.已知f (x)x3bx2cx2若f(x)在x1时有极值1，求b、c的值；若函数yx2x5的图象与函数y的图象恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围例20. 设函数，当时，取得极值.（1）求的值，并判断是函数的极大值还是极小值；（2）当
10、时，函数与的图象有两个公共点，求的取值范围.例21.已知在R上单调递增，记的三内角A、B、C的对应边分别为a、b、c，若时，不等式恒成立（）求实数的取值范围；（）求角的取值范围；（）求实数的取值范围。答案：8解：（1）由题意 在区间上为增函数，在区间上恒成立即恒成立，又，故的取值范围为 （2）设，令得或由（1）知，当时，在R上递增，显然不合题意当时，随的变化情况如下表：极大值极小值由于，欲使与的图象有三个不同的交点，即方程有三个不同的实根，故需，即 ，解得综上，所求的取值范围为9、解：（1），当a0时，递增；当a0时0+00+增极大值减极小值增此时，极大值为7分当a0时00+0减极小值增极大值
11、减此时，极大值为因为线段AB与x轴有公共点所以解得 10、解：（） （）由，由得或x=又在-2，2上最大值，最小值（）， 由题意知11、解：（I）设切点, ,因为存在极值点，所以，即。（II）因为，是方程的根，所以，。,；在处取得极大值，在处取得极小值. 函数图像与轴有3个交点，12解：（）设 其图像关于原点对称，即 得 ， 则有 由 ， 依题意得 ， 由得 故所求的解析式为：.（）由解得：或 ， 时，函数单调递增；设是时，函数图像上任意两点，且，则有过这两点的直线的斜率. 13、解：（1）又直线（2）由（1）知，列表如下：xf+00+f（x）极大值极小值 所以，函数f（x）的单调增区间是和
12、14、解：（1）由得c=1，得（2）得，时取得极值.由， 得.，当时， 在上递减. 又函数的零点有且仅有1个15、解：（I） 又（II）。16、解：（）， 依题意，即解得（）由（）知，曲线与有两个不同的交点，即在上有两个不同的实数解。设，则， 由0的或，当时，于是在上递增；当时，于是在上递减. 依题意有实数的取值范围是. 17、解：（）由题意： ，（）由（）知：，数列满足：，故，（）令 ，相减得： 18、解：（），与轴交点为， ，（），当时，由，得或（舍），在上单调递增，在上单调递减。当时，由得在上单调递增。如图所示，为在上的图像。当时，当时，由故的最大值的情形如下：当时， 当时，当时， 19、解：f (x)3x22bxc，由题知f (1)032bc0，f(1)11bc21b1，c5，f(x)x3x25x2，f(x)3x22x5f(x)在，1为减函数，f (x)在(1，)为增函数b1，c5符合题意即方程：恰有三个不同的实解：x3x25x2k(x0)即当x0时，f (x)的图象与直线yk恰有三个不同的交点，由知f (x)在为增函数，f (x)在为减函数，f (x)在(1，)为增函数，又，f (1)1，f (2)2且k220、解：（1）由题意 当时，取得极值， 所以 即 此时当时，当时，是函数的最小值。 （2）设，则 ，8分 设
