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1、Quasiperiodic Crystals,准晶物理研究进展,赵东山,（2013.04.09）,主要参考文献,1.王仁卉，胡承正，桂嘉年： 凝聚态物理丛书-准晶物理学 ，科学出版社，2004,2.周公度，郭可信： 晶体和准晶体的衍射 ，北京大学出版社，1999,3.郭可信： 准晶研究 ，浙江科学技术出版社，2004,1 准晶的发现及其分类,图1表示由长的线段(L)和短的线段(S) 按照Fibonacci序列的规则构成的一维空间的（直线上的）准周期。这里长线段与短线段的长度之比L/S = t = (1+5)/2 = 1.618.是黄金分割数。所谓Fibonacci序列，是指按照递推公式,1.1
2、 一维准周期与Fibonacci序列,Fn+1 = Fn + Fn-1,形成的序列。,图1 一维空间的（直线上的）准周期示意图。,例如我们取F0S, F1=L，就会依次得到下列序列： F0S F1L F2LS F3LSL F4LSLLS F5LSLLSLSL F6LSLLSLSLLSLLS F7LSLLSLSLLSLLSLSLLSLSL F8LSLLSLSLLSLLSLSLLSLSLLSLLSLSLLSLLS ；：,图1 一维空间的（直线上的）准周期示意图。,Fn+1 = Fn + Fn-1,1.2 准晶的发现及二十面体准晶（三维准晶）,晶体的最基本的特征是具有周期性。晶体学中往往用Brava
3、is点阵来描述晶体的周期性。,相应地，晶体的衍射花样及其所反映的倒易点阵也是周期性的，构成倒易点阵。,Bravais点阵中的每个点代表着晶体的一个单胞，把某晶体的Bravais点阵中的每个阵点都换成这个晶体的单胞，就得到该晶体（理想的完整晶体）。,周期性制约了旋转对称性只可能有1次，2次，3次，4次和6次这几种。,1913年英国布拉格父子提出了一种解释射线衍射的方法，给出了定量结果，并于1915年荣获物理学诺贝尔奖,掠射角,晶格常数,相邻两个晶面反射的两X射线干涉加强的条件,布拉格公式,晶体的X射线衍射,Mg-Al-Zn-Sn合金时效前后的透射电子显微像。 （a）时效前； （b）523K时效1
4、小时。Bar = 200 nm. （c）时效前的电子衍射；（d）时效后的电子衍射。,晶体的电子衍射,二十面体对称性及其极射赤面投影图,图4. 具有二十面体对称性的多面体。(a)二十面体。(b)五角十二面体。(c)截顶二十面体。(d)三角形六十面体。 (e)菱形三十面体。（f）正方二十面十二面体。,具有二十面体对称性的多面体,Shechtman 等在1984年发现的Al-Mn合金电子衍射图像，表明存在晶体上禁戒的二十面体对称性。,这一发现引起了凝聚态物理学界的强烈反响。,Shechtman D, Blech I, Gratias D, Cahn JW, 1984, Phys. Rev. Lett
5、. 53, 1951-3,准晶或是孪晶？,下图是用2%KI甲醇溶液溶掉急冷凝固的Al-Mn合金中的基体，从而得到的二十面体准晶体。,表1. 实验上已经发现亚稳的二十面体准晶,航天航空技术的发展需要更轻、更强的合金，因此，Al-Li，Al-Li-Cu，Al-Li-Cu-Mg合金就倍受关注。,1985年发现，这些合金经过时效处理后析出的沉淀相呈现二十面体对称性，如下图。,1.2 热力学稳定的二十面体准晶,早在1939年，Bradley 和Goldschmidt(1939)就已经研究了Al-Cu-Fe合金系的相图。当时有一个结构未知的相，在1987年蔡安邦发现它就是二十面体准晶。,图10 Al-Cu
6、-Fe合金相图的固相投影图。（取自Faudot，1993）,（Tsai AP, Inoue A, Masumoto T, 1987a. Jpn. J. Appl. Phys. 26, 1505-1507 ）,表2 实验上发现的稳定二十面体准晶,表2 实验上发现的稳定二十面体准晶（续）,1.3 二维准晶,二维准晶，指的是三维物理空间的材料，其中的原子有二维是准周期分布的，另外一维则是周期地分布的。,1.3.1十次准晶,沿着十次准晶的周期性方向是十次旋转轴C10（10）或是十次倒反旋转轴C5h。即十次准晶的准周期性平面具有十次旋转对称性。,图14 Al-Co-Ni十次准晶 HAADF,表-3. 实
7、验上已经发现的十次准晶,表1-3. 实验上已经发现的十次准晶（续）,1.3.3 十二次准晶,除TaTe相可能是稳定的十二次准晶之外，其它已经发现的十二次准晶都是亚稳的，见表4。其中亚稳的V3Ni2和V15Ni10Si十二次准晶同CrFe相在原子结构上具有密切的联系，CrFe相的点阵常数c=4.544 对应于这两种十二次准晶沿着十二次轴方向的周期,表4. 实验上已经发现的十二次准晶,1.3.4 八次准晶,实验上发现的八次准晶都是亚稳的，见表5。,（Wang N, Chen H, Kuo KH, 1987, Phys. Rev. Lett. 59, 1010-13 ）,表5. 实验上已经发现的八次
8、准晶,所谓一维准晶，指的是三维物理空间的材料，其中的原子有二维是周期分布的，另外一维才是准周期地分布的。,1.4 一维准晶,一维准晶可以用分子束外延的方法，让两种不同的晶体薄片按照Fibonacci序列生长，由人工制造出来。,1.4 一维准晶,杨文革、桂嘉年和王仁卉(1996)观察到，从二维准晶（十次准晶）Al65Cu20Mn15 和 Al65Cu20Fe15出发，沿十次准晶的一个A2P二次轴方向引入线性相位子应变，则此十次准晶就转变成一维准晶。,（参见Yang WG, Gui JN, Wang RH, 1996, Phil. Mag. Lett., 74: 357-366）,表6. 实验上已
9、经发现或制备出的一维准晶,2.1 一维准周期结构切割投影法,2 准晶的结构描述,注意到一维准晶具有两个特征长度L和S，被描述为由二维晶体向一维空间投影或被一维空间切割而得到。图2-1a和b中绘出了基矢为e1和e2（它们的长度都是a）的正方晶体点阵，以及基矢为E1的平行空间和基矢为E 2的垂直空间。,图2-1. 二维正方点阵在窗口W之内的阵点向一维平行空间投影得到的结构。（a）斜率是有理数，tan a = 1/2，得到晶体；（b）斜率是无理数，tan a = 1/t，把窗口W之内的阵点投影得到一维空间的准晶。,如果平行空间基矢E1相对于基矢e1和e2的斜率是有理数，例如tan a = 1/2（图
10、2-3a），则它将通过(2,1), (4,2), (6,3),.阵点。如果我们选取一个与平行空间E1平行的条带，其宽度W是正方单胞在垂直空间的投影，并将在此条带内（即投影窗口W内）的二维空间的所有的阵点投影到平行空间，就得到了结构为LSLLSLLSLLSLLS.，周期为LSL的晶体。,图2-1. 二维正方点阵在窗口W之内的阵点向一维平行空间投影得到的结构。（a）斜率是有理数，tan a = 1/2，得到晶体,如果平行空间的斜率是无理数，例如 tan a = 1/t（图2-1b），则平行空间将仅仅通过正方点阵中的一个陣点，例如通过坐标原点O。如果我们将窗口W内的二维空间的所有的阵点投影到平行空间
11、，就得到了结构为LSLLSLSLLSLLS.，即Fibonacci序列的一维的准周期结构。,图2-1. （b）斜率是无理数，tan a = 1/t，把窗口W之内的阵点投影得到一维空间的准晶。,2.2 一维准周期结构的倒易点阵,准周期结构的Fourier 变换就构成倒易点阵。设某高维空间晶体的电子密度分布函数或电势分布函数为r(X1, X2)，则其Fourier 变换(Cowley,1981)，即衍射振幅的表达式为：,F(H1, H2) = r(X1, X2) exp(2pi(H1 X1 + H2 X2)d X1 d X2,它是倒易点阵矢量 r*(H1, H2) 的函数、逆Fourier 变换的
12、表达式为,r(X1, X2) = F(H1, H2)exp(2pi(H1 X1 + H2 X2)d H1 d H2,函数f(x,y)的截面的Fourier变换= 该函数的Fourier变换F(u,v)的投影,函数f(x,y)的投影的Fourier变换= 该函数的Fourier变换F(u,v)的过原点的截面,为了求出准晶的倒易点阵，就需要利用Fourier 变换的切割定理，投影定理，乘积定理，以及卷积定理：,“切割”和“投影”的数学上的表示如下：所谓某一个由基矢(E1, E2)张着的高维空间函数f(X1, X2)被某一个低维平行空间，例如由基矢E1构成的空间切割，如果切割面通过原点的话，就是令函
13、数f(X1, X2)中的位矢的垂直空间分量X2=0：f(X1, X2)X2=0 = f(X1, 0) 。所谓某一个由基矢 (E1, E2)张着的高维空间函数f(X1, X2)向某一个低维平行空间投影，就是将这个函数对垂直空间积分： r(X1, X2) d X2。,现在我们分两种情况讨论如何求准晶的倒易点阵。,高维空间以e1和e2为基矢的点阵L可以利用函数来表示为,W(X1, X2) =,高维空间晶体的密度函数r(X1, X2)是这两个函数的乘积,r(X1, X2)L W(X1, X2),图2-3. （b）斜率是无理数，tan a = 1/t，把窗口W之内的阵点投影得到一维空间的准晶。,已知（C
14、owley,1981）晶体点阵L的Fourier变换是倒易点阵 L*：,L* =,窗口函数W(X1, X2)的Fourier变换的振幅比例于Sinc函数,Sinc(H2) =,利用Fourier变换的乘积定理，高维空间晶体的密度函数r(X1, X2)的Fourier变换,它是倒易点阵L*与Sinc(H2)（窗口函数的Fourier变换）的卷积，见图2-5b,图2-5. 准晶倒易点阵的求得准晶由高维空间晶体密度函数L W向平行空间投影而得。 （a）Sinc(H2)函数（即窗口函数W（X2）的Fourier变换）的形状。其其主峰的全宽度为2/w。 （b）高维倒易空间函数(L*) Sinc(H2)。
15、它被平行空间切割就得到准晶的倒易点阵。,切割而得到的倒易点的振幅与位置的关系见图2-6b。由图可见，由于Sinc函数的值随着远离倒易阵点的中心而迅速衰减，当高维倒易空间被平行空间切割时，仅仅最靠近平行空间的那些倒易点才有显著的贡献。也就是说，高维空间倒易阵点的垂直分量越小，对准晶的倒易点阵的贡献就越大。,图2-6. 准晶倒易点阵的求得准晶由高维空间晶体密度函数LW被平行空间切割而得。(b) 它向平行空间投影得到准晶的倒易点阵。,准晶被描述为高维晶体点阵L的阵点按照窗口函数W(X1, X2)扩展成为原子面后被平行空间切割而得：这时，高维空间晶体的密度函数r(X1, X2)是这两个函数的卷积：,r
16、(X1, X2) L W(X1, X2),图2-4. 二维正方晶体（把二维点阵中的每一个阵点扩展成为形状如投影窗口W的原子面而得到）被一维平行空间切割得到的结构。斜率是无理数tan a = 1/t，得到与图2-3b相同的一维空间的准晶。,图2-6. 准晶倒易点阵的求得准晶由高维空间晶体密度函数LW被平行空间切割而得。 (a) 高维倒易空间的函数 (L*) Sinc(H2)（透视图）。(b) 它向平行空间投影得到准晶的倒易点阵。,图2-7. 准晶的倒易点阵的求法。 (a)准晶由高维空间晶体密度函数L W向平行空间投影而得；(b)准晶由高维空间晶体密度函数L W被平行空间切割而得。,2.4 二维准晶,十次准晶，需要考虑由基矢ej = (e1, e2, e3, e4, e5)张着的五维空间晶体以及另外一套由基矢Ej (E1, E 2, E3, E4, E5) 张着的正交归一化的坐标系，其中基矢E1, E 2, E3张着平行空间，基矢E4,E5张着垂直空间。五维空间晶体中由基
