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1、第六节 导数在经济中的应用,一、常用的几个经济函数 二、边际分析,一、常用的几个经济函数,1.需求函数 2.供给函数 3.均衡价格 4.总成本函数 5.销售收入函数（总收益函数） 6.总利润函数,1.需求函数,需求函数商品的需求量 Qd，受消费者的偏好、收入及商品价格等因素的影响，但最主要的是价格因素。若不考其它因素，把需求量Qd只看成价格 p 的函数，即 Qd = f(p) 则称此函数为需求函数。 需求函数 Qd= f (p) 一般是 p 的递减函数。 最常见、最简单的需求函数是如下形式的线性需求函数 Qd= f (p) = -ap+ b （a,b为正常数）,例1 某产品售价70元/件，可买
2、10000件，价格每增加3元就少买300件，求需求量 Qd 与价格 p 的函数。 解 设价格由70元增加 k个3元，则 p=70+3k，Qd =10000300k，从而 k100/3，而k=(p-70)/3，则p170 Qd=17000-100p，p(70, 170),2.供给函数,生产者对商品的生产是由多方面因素所决定的，其中价格是最主要的因素。一般地，价格越高，就越要加大供应，因此供给量 Qs 是价格 p 的单增函数。最简单的供给函数是如下形式的线性函数： Qs=g (p) = cp - d （c,d为正常数） 反应供给量与价格关系的曲线，称之为供给曲线，如图。,o,p,Qs,d,显然只有
3、价格不低于 d/c 时，才有供给量 Qs，因为厂商都不愿作亏本生意。 例2 某商品当价格为50元时， 有50单位投放市场， 当价格为75元时，有100单位投放市场，求供给Qs与价格 p 的函数。 解 设Qs = cp d, 则 Qs = 2p 50,3.均衡价格,均衡价格就是使一种商品的市场需求量Qd与供给量Qs 相等时的价格，即就是使 f(p) = g(p)时的价格，记为 p*。显然此时的市场处于均衡状态。 （1）当市场价格p 均衡价格p*时， Qs Qd ； （2）当市场价格p 均衡价格p*时， Qs Qd 。 因此，市场上商品价格的调节，是按照需求律与供给律来实现的：若需求量大于供给量，
4、则价格上涨；反之，价格下跌。所以，市场上商品的价格总是围绕均衡价格上下浮动。,4.总成本函数,某商品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源的价格或费用总额。 它由固定资本（生产准备费，用于维修、添制设备等）a元和可变资本（每单位产品消耗原材料、劳力等费用）b元，则生产x件产品的总成本为 C(x) = a + bx 每件产品的成本（叫单位成本或平均成本）为,5.销售收入函数（总收益函数）,总收益是产量的函数。设某种产品的销售量为 x，价格为 p，则销售收入函数为 R = p x 而价格 p 又可表为 x 的函数，所以销售收入函数可看成x 的函数 R(x) = p(x) x 。,6.总利
5、润函数,总利润L(x)是总收入 R(x) 与总成本 C(x) 之差。 设 x 件产品的总成本为 C(x)，销售收入为 R(x)，则利润为 L(x) = R(x) C (x),二、边际分析,经济学中，把函数(x)的导函数f(x)称为(x)的边际函数。f(x0) 称为(x)在x0 处的边际值（或变化率、变化速度等）。,在经济学中，通常取x =1，就认为x达到很小（再小无意义），故有,实际问题中，略去“近似”二字，就得(x)在x0 处的边际值f(x0)。 经济意义: 即当自变量x在x0的基础上再增加一个单位时, 函数y的改变量。 例3 某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件, 假设日产
6、品的总成本C元与日产量 x件的函数为 C(x)=x2/4+60 x+2050,求：(1)日产量75件时的总成本和平均成本； (2)当日产量由75件提高到90件时，总成本的平均改变量； (3)当日产量为75件时的边际成本。 解 (1)日产量75件时的总成本和平均成本 C(75)=7956.25(元) C(75)/75=106.08(元/件) (2)当日产量由75件提高到90件时，总成本的平均改变量,(3)当日产量为75件时的边际成本 C(x)=x/2+60 C(75)=97.5（元） 注意：当销售量为x，总利润为L=L(x)时，称L(x)为销售量为x时的边际利润，它近似等于销售量为x时再多销售一
7、个单位产品所增加或减少的利润。 例4 某糕点加工厂生产A类糕点的总成本函数和总收入函数分别是C(x)=100+2x+0.02x2和R(x)=7x+0.01x2，求边际利润函数和当日产量分别是200公斤、250公斤和300公斤时的边际利润，并说明其经济意义。,解 (1)总利润函数为L(x)=R(x) C(x) =5x-100-0.01x2 边际利润函数为L(x)=5-0.02x (2)当日产量是200公斤、250公斤和300公斤时的边际利润分别是L(200)=1, L(250)=0, L(300)=-1 其经济意义是：当日产量为 200公斤时，再增加1公斤，则总利润可增加1元；当日产量为 250公斤时，再增加1公斤，则总利润无增加；当日产量为300公斤时，再增加1公斤，则反而亏损1元。 结论：当企业的某一产品的生产量超越了边际利润的零点（L(x)=0）时反而使企业无利可图。,
