《人教A版高中数学选修1-1课时提升作业（十二） 2.2.1 双曲线及其标准方程 探究导学课型 Word版含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A版高中数学选修1-1课时提升作业（十二） 2.2.1 双曲线及其标准方程 探究导学课型 Word版含答案（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、课时提升作业(十二)双曲线及其标准方程(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2015福建高考)若双曲线E：x29-y216=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于()A.11B.9C.5D.3【解析】选B.因为PF1-PF2=2a，所以PF1-PF2=6，所以PF2=9或-3(舍去).【补偿训练】设点P是双曲线x29-y216=1上任意一点，F1，F2分别是左、右焦点，若|PF1|=10，则|PF2|=_.【解析】由双曲线方程，得a=3，b=4，c=5.当点P在双曲线的左支上时，由双曲线定义，得|PF2|-|PF1|=6，所以|
2、PF2|=|PF1|+6=10+6=16；当点P在双曲线的右支上时，由双曲线定义，得|PF1|-|PF2|=6，所以|PF2|=|PF1|-6=10-6=4.故|PF2|=4或|PF2|=16.答案：4或162.一动圆P过定点M(-4，0)，且与已知圆N：(x-4)2+y2=16相切，则动圆圆心P的轨迹方程是()A.x24-y212=1(x2)B.x24-y212=1(x2)C.x24-y212=1D.y24-x212=1【解析】选C.由已知N(4，0)，内切时，定圆N在动圆P的内部，有|PN|=|PM|-4，外切时，有|PN|=|PM|+4，故|PM|-|PN|=4，因此2a=4，2c=8，
3、所以b2=12，点P的轨迹是双曲线x24-y212=1.【误区警示】本题易把“相切”理解为外切或内切，错选A或B.3.(2015信阳高二检测)已知双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点为(0，3)，则k的值为()A.1B.-1C.73D.-73【解析】选B.将双曲线方程化为kx2-k8y2=1，即x21k-y28k=1.因为一个焦点是(0，3)，所以焦点在y轴上，所以c=3，a2=-8k，b2=-1k，所以a2+b2=-8k-1k=-9k=c2=9.所以k=-1.【误区警示】本题有两处易错：一是a2，b2确定错误，应该是a2=-8k，b2=-1k；二是a，b，c的关系式用错.在双曲线中应为c2=
4、a2+b2.4.设过双曲线x2-y2=9左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P,Q,F2为双曲线的右焦点.若|PQ|=7,则F2PQ的周长为()A.19B.26C.43D.50【解析】选B.如图,由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=2a,|QF2|-|QF1|=2a,将两式相加得|PF2|+|QF2|-|PQ|=4a,所以F2PQ的周长为|PF2|+|QF2|+|PQ|=4a+|PQ|+|PQ|=43+27=26.5.(2015开封高二检测)双曲线x216-y29=1上一点P到点(5，0)的距离为15，那么该点到(-5，0)的距离为()A.7B.23C.5或25D.7或23【解析】选D.由
5、题知a2=16，b2=9，所以c2=25.又焦点在x轴上，所以焦点为F1(-5，0)，F2(5，0)，|PF1|-|PF2|=2a=8，|PF1|-15|=8，所以|PF1|-15=8或|PF1|-15=-8，所以|PF1|=23或|PF1|=7.【拓展提升】求双曲线上的点到焦点的距离的注意点若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据|PF1|-|PF2|=2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c-a).二、填空题(每小题5分，共15分)6.已知ABC的顶点B(-2，0)，C(2，0)，并且sinC-sinB=1
6、2sinA，则顶点A的轨迹方程是_.【解析】设ABC外接圆半径为R，则由：sinC-sinB=12sinA，得：|AB|2R-|AC|2R=12|BC|2R，即|AB|-|AC|=2.所以点A的轨迹是以B，C为焦点的双曲线的右支，并去掉顶点.因为2a=2，c=2，所以a2=1，b2=c2-a2=3.故点A的轨迹方程为x2-y23=1(x1).答案：x2-y23=1(x1)7.(2015山西师大附中高二检测)从双曲线x29-y216=1的左焦点F引圆x2+y2=9的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|-|MT|=_.【解析】设F2为椭圆右焦点
7、，则|OM|=12|PF2|，|PF|-|PF2|=6.因为FT是O的切线，所以|FT|=4，所以|MT|=|MF|-|FT|=12|PF|-4，所以|MO|-|MT|=12|PF2|-12|PF|+4=4-12(|PF|-|PF2|)=1.答案：1【补偿训练】若双曲线x2m-y2n=1(m0，n0)和椭圆x2a+y2b=1(ab0)有相同的焦点F1，F2，M为两曲线的交点，则|MF1|MF2|等于_.【解析】由双曲线及椭圆定义分别可得|MF1|-|MF2|=2m，|MF1|+|MF2|=2a，2-2得，4|MF1|MF2|=4a-4m，所以|MF1|MF2|=a-m.答案：a-m8.已知双曲
8、线上两点P1，P2的坐标分别为(3，-42)，94,5，则双曲线的标准方程为_.【解析】若曲线的焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为：y2a2-x2b2=1(a0，b0)依题意得32a2-9b2=1,25a2-8116b2=1.令m=1a2，n=1b2，则方程组化为：32m-9n=1,25m-8116n=1.解这个方程组得m=116,n=19.即a2=16，b2=9，所以所求双曲线的标准方程为y216-x29=1.若焦点在x轴上，设所求双曲线方程为x2a2-y2b2=1(a0，b0)，依题意得9a2-32b2=1,8116a2-25b2=1.此时无解.综上可得，所求双曲线的标准方程为y216
9、-x29=1.答案：y216-x29=1【一题多解】设所求双曲线方程为Ax2-By2=1(AB0)，依题意得9A-32B=1,8116A-25B=1.解得A=-19,B=-116.故所求双曲线方程为-x29+y216=1即y216-x29=1.答案：y216-x29=1三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2015洛阳高二检测)已知曲线C：x2t2+y2t2-1=1(t0，t1).(1)求t为何值时，曲线C分别为椭圆、双曲线.(2)求证：不论t为何值，曲线C有相同的焦点.【解析】(1)当|t|1时，t20，t2-10，曲线C为椭圆；当0|t|1时，t2-11时，t2-10，曲线C是椭圆，且
10、t2t2-1，因而c2=t2-(t2-1)=1.所以焦点为F1(-1，0)，F2(1，0).当0|t|1时，双曲线C的方程为x2t2-y21-t2=1.因为c2=t2+(1-t2)=1，所以焦点为F1(-1，0)，F2(1，0).综上所述，无论t为何值，曲线C有相同的焦点.10.(2015漳州高二检测)已知双曲线x216-y24=1的两焦点为F1，F2.(1)若点M在双曲线上，且MF1MF2=0，求M点到x轴的距离.(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C的方程.【解析】(1)如图所示，不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，MF1MF2=0，则MF1MF
11、2，设|MF1|=m，|MF2|=n，由双曲线定义知，m-n=2a=8，又m2+n2=(2c)2=80，由得mn=8，所以12mn=4=12|F1F2|h，所以h=255.(2)设所求双曲线C的方程为x216-y24+=1(-40,且k1时,点P(x,y)的轨迹为椭圆;当k0，椭圆的焦距为4，所以c2=n-1=4或1-n=4，解得n=5或-3(舍去).答案：54.(2015盐城高二检测)已知F是双曲线x24-y212=1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为_.【解析】设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义可知|PF|=2a+|PF1|=4+|PF1|
12、，所以|PF|+|PA|=4+|PF1|+|PA|.所以当|PF1|+|PA|最小时满足|PF|+|PA|最小.由双曲线的图象可知当点A，P，F1共线时，满足|PF1|+|PA|最小，易求得最小值为|AF1|=5，故所求最小值为9.答案：9三、解答题(每小题10分，共20分)5.焦点在x轴上的双曲线过点P(42,-3),且点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,求此双曲线的标准方程.【解析】因为双曲线焦点在x轴上,所以设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),F1(-c,0),F2(c,0).因为双曲线过点P(42,-3),所以32a2-9b2=1.又因为点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,所以QF1QF2=0,即-c2+25=0.解得c2=25.又c2=a2+b2,所以由可解得a2=16或a2=50(舍去).所以b2=9,所以所求的双曲线的标准方程是x2
