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1、课时提升作业 一回归分析的基本思想及其初步应用一、选择题(每小题5分，共25分)1.下列四个命题中正确的是()在线性回归模型中，e是x+预报真实值y的随机误差，它是一个观测的量；残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；用R2来刻画回归方程，R2越小，拟合的效果越好；在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域宽度越窄，说明拟合精度越高，回归方程的预报精度越高.A.B.C.D.【解析】选B.e是预报变量y的随机误差，故不正确；R2越接近1，拟合的效果越好，故不正确.2.甲、乙、丙、丁4位同学各自对A，B两个变量进行回归分析，分别得到散点图与残差平方和i=1n(
2、yi-)2如表：甲乙丙丁散点图残差平方和115106124103哪位同学的试验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度高？()A.甲B.乙C.丙D.丁【解析】选D.根据线性相关的知识，散点图中各样本点带状分布越均匀，同时保持残差平方和越小，回归分析建立的线性回归模型的拟合效果越好.由试验结果知，丁拟合效果较好些.3.关于残差的叙述正确的是()A.残差就是随机误差B.残差就是方差C.残差都是正数D.残差可以用来判断模型拟合的效果【解析】选D.根据残差的意义及作用知，D正确.4.(2016大连高二检测)在一次试验中，测得(x，y)的4组值分别为A(1，2)，B(2，3)，C(3，4)，D(4，5
3、)，则y与x之间的回归直线方程为()A. =x+1B. =x+2C. =2x+1D. =x-1【解析】选A.由已知条件可知x-=52，y-=72，而回归直线必经过样本点的中心52,72，故选项A符合题意.5.(2016济南高二检测)设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i=1，2，n)，用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是()A.y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心(x-，y-)C.若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm
4、，则可断定其体重必为58.79kg【解题指南】根据线性相关、回归直线、样本点的中心等相关概念判断.【解析】选D.选项具体分析结论Ax的系数大于零，正相关正确B由回归直线方程的计算公式=y-x-可知直线l必过点(x-，y-)正确C由一次函数的单调性知，x每增加1cm，体重平均增加0.85kg，是估计变量正确D体重应约为58.79kg，估计变量不正确二、填空题(每小题5分，共15分)6.对于回归方程=257+4.75x，当x=28时，y的估计值是_.【解析】当x=28时，=257+4.7528=390，所以y的估计值为390.答案：3907.若对于变量y与x的10组数据的回归模型中，R2=0.95
5、，又知残差平方和为120.53.那么i=110(yi-y)2=_.【解析】由公式R2=1- 得0.95=1-120.53i=110(yi-y-)2得i=110(yi-y-)2=2410.6.答案：2410.68.面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本.某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量x(单位：千箱)与单位成本y (单位：元)的资料进行线性回归分析，结果如下：x-=72，y-=71，i=16xi2=79，i=16xiyi=1481. 则销量每增加1000箱，单位成本下降_元.【解析】由题意知=1 481-6727179-6722-1.8182，=7
6、1-(-1.8182)7277.36，=-1.8182x+77.36，销量每增加1千箱，则单位成本下降1.8182元.答案：1.8182三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2016武汉高二检测)某公司有6名推销员，其工作年限与年推销金额数据如下：推销员编号12345工作年限x(年)35679年推销金额y(万元)23345(1)求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程.(2)若第6名推销员工作年限为11年，试估计他的年推销金额.【解析】(1)设所求的回归方程为=x+，则=i=15(xi-x)(yi-y)i=15(xi-x)2=1020=0.5，=y-x=0.4.所以年推销金额y关于工作年
7、限x的线性回归方程为=0.5x+0.4.(2)当x=11时，=0.511+0.4=5.9(万元)，所以可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元.10.已知某校在一次考试中，5名学生的数学和地理成绩如表：学生的编号i12345数学成绩x8075706560地理成绩y7066686462(1)根据上表，利用最小二乘法，求出y关于x的线性回归方程=x+(其中=0.36).(2)利用(1)中的线性回归方程，试估计数学90分的同学的地理成绩(四舍五入到整数).(3)若从5人中选2人参加数学竞赛，其中1、2号不同时参加的概率是多少？【解析】(1)x=15(80+75+70+65+60)=70，y=15
8、(70+66+68+64+62)=66，=0.36，所以=y-x=40.8，所以y关于x的线性回归方程为=0.36x+40.8.(2)若x=90，则y=0.3690+40.873，即数学90分的同学的地理成绩估计为73分.(3)五人中选两人的不同选法有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)共10种不同选法.其中1，2号不同时参加的有9种，所以1，2号不同时参加的概率P=910.一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2016石家庄高二检测)为了研究两个变量x和y之间的线性相关关系，甲、乙两位同学分别独立做了100次
9、和150次试验，并且利用最小二乘法求得回归直线分别为l1，l2.已知两人在试验中发现变量x的观察数据的平均值都是s，变量y的观察数据的平均值都是t.下列说法中正确的是()A. l1和l2有交点(s，t)B. l1与l2相交，但交点不一定是(s，t)C. l1与l2必平行D. l1与l2必重合【解析】选A.由题意知，(s，t)是甲、乙两位同学所做试验的样本点的中心，而回归直线恒过样本点的中心，故A正确.2.在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()x1.953.003.945.106.12y0.971.59
10、1.982.352.61A.y=2xB.y=log2xC.y=12(x2-1)D.y=2.61cosx【解析】选B.作散点图，从图中观察可知，应为对数函数模型.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2016福州高二检测)某人收集统计近几年来春节期间的平均气温x与某取暖商品销售额y的有关数据(如表)：平均气温()-2-3-5-6销售额(万元)20232730根据上述数据，用线性回归的方法，求得销售额y与平均气温x之间的线性回归方程为=x+中系数=-2.4，预测平均气温为-8时，该商品的销售额大约为_万元.【解析】x=-4，y-=25，即这组数据的样本点的中心为(-4，25)，将=-2.4代入回
11、归直线方程且回归直线过样本点中心得=15.4.故回归直线方程为=-2.4x+15.4.当x=-8时，=-2.4(-8)+15.4=34.6.答案：34.64.对具有线性相关关系的变量x和y，由测得的一组数据已求得回归直线的斜率为6.5，且恒过(2，3)点，则这条回归直线的方程为_.【解析】由题意知x=2，y=3，=6.5，所以=y-x=3-6.52=-10，即回归直线的方程为=-10+2x.答案：=-10+2x三、解答题5.(10分)(2015全国卷)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传
12、费xi和年销售量yi(i=1，2，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.x-y-w-i=18(xi-x-)2i=18 (wi-w-)2i=18(xi-x-)(yi-y-)i=18(wi-w-)(yi-y-)46.65636.8289.81.61 469108.8表中wi=xi，w-=18i=18wi.(1)根据散点图判断，y=a+bx与y=c+dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程.(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列
13、问题：年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回归直线v=+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=i=1n(ui-u-)(vi-v-)i=1n(ui-u-)2，=v-u-.【解析】(1)由散点图的变化趋势可以判断，y=c+dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.(2)令w=x，先建立y关于w的线性回归方程.由于=i=18(wi-w-)(yi-y-)i=18(wi-w-)2=108.81.6=68，=y-w-=563-686.8=100.6，所以y关于w的线性回归方程
14、为=100.6+68w，因此y关于x的回归方程为=100.6+68x.(3)由(2)知，当x=49时，年销售量y的预报值=100.6+6849=576.6，年利润z的预报值=576.60.2-49=66.32.根据(2)的结果知，年利润z的预报值=0.2(100.6+68x)-x=-x+13.6x+20.12.所以当x=13.62=6.8，即x=46.24时，取得最大值.故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.【补偿训练】(2016济宁高二检测)假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，现测得5组数据如下：x15.025.830.036.644.4y39.442.942.943.149.2 (1)以x为解释变量，y为预报变量作出散点图.(2)求y与x之间的回归方程，对基本苗数56.7预报有效穗.(3)计算各组残差，并计算残差平方和.(4)求R2，说明回归模型的拟合效果.【解析】(1)散点图如图所示：(2)由(1)中的图看出，样本点大致分布在一条直线的附近，有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关
