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1、章末综合测评 (二) (时间 120分钟，满分 150 分) 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是() A1，1 2， 1 3， 1 4， B1,2，3,4， C1， 1 2， 1 4， 1 8， D1, 2，3，n 【解析】A 为递减数列， B 为摆动数列， D 为有穷数列 【答案】C 2已知数列 an是首项 a14，公比 q1 的等比数列，且 4a1， a5，2a3成等差数列，则公比q 等于() A. 1 2 B1C2D2 【解析】由已知， 2a54a12a3，即
2、 2a1q44a12a1q2，所以 q4q220，解得 q21，因为 q1，所以 q1. 【答案】B 3某种细胞开始有 2 个，1 小时后分裂成 4 个并死去 1 个，2 小 时后分裂成 6 个并死去 1 个，3 小时后分裂成 10 个并死去 1 个， 按此规律进行下去， 6 小时后细胞存活的个数是() A33 个B65个C66 个D129个 【解析】设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为 an 则 a12， an12an1， 即 an11 an1 2. an11 2n 1 ，an2n 11，a 765. 【答案】B 4等比数列 an的通项为 an2 3n 1，现把每相邻两项之间都插 入
3、两个数，构成一个新的数列bn，那么 162是新数列 bn的() A第 5 项B第 12项 C第 13 项D第 6 项 【解析】162 是数列 an的第 5 项，则它是新数列 bn的第 5 (51)213 项 【答案】C 5已知数列 an的前 n 项和 Snan1(a0)，则an() A一定是等差数列 B一定是等比数列 C或者是等差数列，或者是等比数列 D既不可能是等差数列，也不可能是等比数列 【解析】Snan1(a0)， an S1，n1， SnSn1，n2， 即 an a1，n1， a1 an 1，n2， 当 a1 时，an0，数列 an是一个常数列，也是等差数列；当 a1 时，数列 an是
4、一个等比数列 【答案】C 6等差数列 an的公差不为零，首项a11，a2是 a1和 a5的等 比中项，则数列的前10 项之和是 () A90 B100 C145 D190 【解析】设公差为 d， (1d)21(14d)， d0， d2，从而 S10100. 【答案】B 7记等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S24，S420，则该数 列的公差 d() A2 B3 C6 D7 【解析】S4S2a3a420416， a3a4S2(a3a1)(a4a2) 4d16412， d3. 【答案】B 8已知数列 an满足 a15，anan12n，则 a7 a3( ) A2 B4 C5 D.5 2 【解
5、析】依题意得 an1an2 anan1 2n 1 2n 2，即a n2 an 2，数列 a1，a3， a5，a7，是一个以 5 为首项， 2 为公比的等比数列，因此 a7 a34. 【答案】B 9在数列 an中，a12,2an12an1，则 a101的值为 () A49 B50 C51 D52 【解析】2an12an1， an1an 1 2， 数列an是首项 a12，公差 d1 2的等差数列， a1012 1 2(1011)52. 【答案】D 10我们把 1,3,6,10,15，这些数叫做三角形数，因为这些数目 的点可以排成一个正三角形，如图1 所示： 图 1 则第七个三角形数是 () A27
6、 B28 C29 D30 【解析】法一a11，a23，a36，a410，a515，a2 a12，a3a23，a4a34，a5a45， a6a56，a621，a7a67，a728. 法二由图可知第 n 个三角形数为 n n1 2 ， a7 78 2 28. 【答案】B 11数列an满足递推公式an3an13n1(n2)，又 a15， 则使得 an 3n 为等差数列的实数 () A2 B5 C 1 2 D. 1 2 【解析】a15，a223，a395，令 bna n 3n ，则 b1 5 3 ， b223 9 ，b395 27 ， b1b32b2， 1 2 . 【答案】C 12在等差数列 an中，
7、a100，且 a11|a10|，则an的前 n 项和 Sn中最大的负数为 () AS17BS18CS19DS20 【解析】a100，且 a11|a10|， a11a100. S20 20 a1a20 2 10 (a11a10)0. S19 19 a1a19 2 19 2 2a100 且 a9 248d0， 8 3d3. 【答案】 8 3，3 16已知公差不为零的正项等差数列an中，Sn为其前 n 项和， lg a1，lg a2，lg a4也成等差数列，若a510，则 S5_. 【解析】设an的公差为 d，则 d0. 由 lg a1，lg a2，lg a4也成等差数列， 得 2lg a2lg a
8、1lg a4，a 2 2a1a4， 即(a1d)2a1(a13d)，d 2a1d. 又 d0，故 da1，a55a110，da12， S55a154 2 d30. 【答案】30 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤 ) 17(本小题满分 10 分)在等差数列 an中，a1a38，且 a4为 a2和 a9的等比中项，求数列 an的首项、公差及前n 项和 【解】设该数列的公差为d，前 n 项和为 Sn.由已知可得 2a12d8，(a13d)2(a1d)(a18d)， 所以 a1d4，d(d3a1)0， 解得 a14，d0 或 a11，d3，即数列
9、an的首项为 4，公差 为 0，或首项为 1，公差为 3. 所以数列的前 n 项和 Sn4n 或 Sn 3n2n 2 . 18 (本小题满分 12分)(2016 唐山模拟 )设数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*) (1)求 a2，a3的值； (2)求证：数列 Sn2 是等比数列 【解】(1)a12a23a3nan(n1) Sn2n(nN*)， 当 n1 时，a1212； 当 n2 时，a12a2(a1a2)4，a24； 当 n3 时，a12a23a32(a1a2a3)6，a38. (2)证明： a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN *
10、)， 当 n2 时，a12a23a3(n1)an1(n2)Sn12(n 1)， 得 nan(n1)S n(n2)Sn12nanSn2Sn12， Sn2Sn120，即 Sn2Sn12. Sn22(Sn12)S 1240. Sn120， Sn2 Sn122. 即S n2是以 4 为首项， 2 为公比的等比数列 19(本小题满分12 分)(2015 北京高考 )已知等差数列 an 满足 a1a210，a4a32. (1)求an的通项公式； (2)设等比数列 bn满足 b2a3，b3a7，问： b6与数列 an 的第 几项相等？ 【解】(1)设等差数列 an的公差为 d. 因为 a4a32，所以 d2
11、. 又因为 a1a210，所以 2a1d10，故 a14. 所以 an42(n1)2n2(n1,2，) (2)设等比数列 bn的公比为 q. 因为 b2a38，b3a716， 所以 q2，b14. 所以 b6426 1128. 由 1282n2 得 n63， 所以 b6与数列 an的第 63 项相等 20(本小题满分12 分)已知首项都是1 的两个数列 an ， bn( bn0，nN*)，满足anbn1an1bn2bn1bn0. 【导学号： 05920083】 (1)令 cn an bn，求数列 cn的通项公式； (2)若 bn3n 1，求数列 a n的前 n 项和 Sn. 【解】(1)因为
12、anbn1an1bn2bn1bn0， bn0(nN*)， 所以 an1 bn1 an bn2，即 cn 1cn2. 所以数列 cn是以首项 c11，公差 d2 的等差数列，故 cn2n 1. (2)由 bn3n 1 知 ancnbn(2n1)3n 1， 于是数列 an的前 n 项和 Sn130331532(2n 1)3n 1， 3Sn131332(2n3)3n 1(2n1)3n. 相减得 2Sn12(31323n 1)(2n1)3n2 (2n2)3n， 所以 Sn(n1)3n1. 21(本小题满分 12分)(2015 四川高考 )设数列 an(n1,2,3，) 的前 n 项和 Sn满足 Sn2
13、ana1，且 a1，a21，a3成等差数列 (1)求数列 an的通项公式； (2)记数列 1 an 的前 n 项和为 Tn，求使得 |Tn1| 1 1 000成立的 n 的 最小值 【解】(1)由已知 Sn2ana1，有 anSnSn12an2an1(n2)， 即 an2an1(n2)，所以 q2. 从而 a22a1，a32a24a1. 又因为 a1，a21，a3成等差数列，即a1a32(a21)， 所以 a14a12(2a11)，解得 a12. 所以数列 an是首项为 2，公比为 2 的等比数列 故 an2n. (2)由(1)得 1 an 1 2n， 所以 Tn 1 2 1 22 1 2n
14、1 2 1 1 2 n 11 2 1 1 2 n. 由|Tn1| 1 1 000 ，得 1 1 2n1 1 000. 因为 295121 0001 024 210，所以 n10. 于是使 |Tn1| 1 1 000 成立的 n 的最小值为 10. 22(本小题满分12 分)在等差数列 an中，已知公差d2，a2 是 a1与 a4的等比中项 (1)求数列 an的通项公式； (2)设 bnan n1 2 ， 记 Tnb1b2b3b4 (1)nbn，求 Tn. 【解】(1)由题意知 (a1d)2a1(a13d)， 即(a12)2a1(a16)，解得 a12， 所以数列 an的通项公式为 an2n. (2)由题意知 bnan n1 2 n(n1)， 所以 Tn122334(1)nn (n1) 因为 bn1bn2(n1)，可得当 n 为偶数时， Tn(b1b2)(b3b4)(bn1bn) 48122n n 2 42n 2 n n2 2 ， 当 n 为奇数时， TnTn1(bn) n1 n1 2 n(n1) n1 2 2 . 所以 Tn n1 2 2 ，n为奇数， n n2 2 ，n为偶数 .
