高中数学讲义微专题06函数的图像

《高中数学讲义微专题06函数的图像》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学讲义微专题06函数的图像（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、（2）二次函数：yaxhk，其特点在于存在对称轴，故作图时只需做出对称轴一侧 微专题 06函数的图像 一、基础知识 1、做草图需要注意的信息点： 做草图的原则是：速度快且能提供所需要的信息，通过草图能够显示出函数的性质。在作 图中草图框架的核心要素是函数的单调性，对于一个陌生的可导函数，可通过对导函数的符 号分析得到单调区间，图像形状依赖于函数的凹凸性，可由二阶导数的符号决定（详见“知 识点讲解与分析”的第3 点） ，这两部分确定下来，则函数大致轮廓可定，但为了方便数形结 合，让图像更好体现函数的性质，有一些信息点也要在图像中通过计算体现出来，下面以常 见函数为例，来说明作图时常体现的几个信息

2、点 （1）一次函数： ykxb, 若直线不与坐标轴平行，通常可利用直线与坐标轴的交点来确定 直线 特点：两点确定一条直线 信息点：与坐标轴的交点 2 的图像，另一侧由对称性可得。函数先减再增，存在极值点顶点，若与坐标轴相交，则 标出交点坐标可使图像更为精确 特点：对称性 信息点：对称轴，极值点，坐标轴交点 （3）反比例函数： y 1 x , 其定义域为 ,00, ，是奇函数，只需做出正版轴图像 即可（负半轴依靠对称做出），坐标轴为函数的渐近线 特点：奇函数（图像关于原点中心对称），渐近线 信息点：渐近线 注： （1）所谓渐近线：是指若曲线无限接近一条直线但不相交，则称这条直线为渐近线。渐近线

3、在作图中的作用体现为对曲线变化给予了一些限制，例如在反比例函数中， x轴是渐近线，那 么当x，曲线无限向 x轴接近，但不相交，则函数在x正半轴就不会有x轴下方的部分。 （2）水平渐近线的判定：需要对函数值进行估计：若 x （或）时， f x 常数 C，则称直线yC为函数f x 的水平渐近线 f x10故函数单调递增， f x 3 0，故函数为上凸函数，当x时， 例如：y2 x 当x时，y，故在x轴正方向不存在渐近线 当x时，y0，故在x轴负方向存在渐近线y0 （3）竖直渐近线的判定：首先 f x 在x a处无定义，且当xa时，f x （或） ， 那么称 xa为f x 的竖直渐近线 例如： yl

4、og2x在x0处无定义，当x0 时， f x ，所以 x0 为 ylog2x 的 一条渐近线。 综上所述：在作图时以下信息点值得通过计算后体现在图像中：与坐标轴的交点；对称轴与 对称中心；极值点；渐近线。 例：作出函数 f xx 1 x 的图像 分析：定义域为 ,00, ，且 f x 为奇函数，故 先考虑 x正半轴情况。 1 x2 2 x f x 无水平渐近线， x0时，f x ，所以 y轴为f x 的竖直渐近线。零 点： 1,0 ，由这些信息可做出正半轴的草图，在根据对称性得到 f x 完整图像： 2、函数图象变换：设函数 yf x ，其它参数均为正数 （1）平移变换： f xa ：f x的

5、图像向左平移 a个单位 f xa ： f x 的图像向右平移 a个单位 f xb：f x 的图像向上平移 a个单位 f xb：f x 的图像向下平移 a个单位 （2）对称变换： fx ：与 f x 的图像关于 y轴对称 f x：与f x的图像关于x轴对称 f kx：fx图像纵坐标不变，横坐标变为原来的 kfx：fx图像横坐标不变，纵坐标变为原来的k倍 fx：fx fx ,fx0 f x,fx0 fx：与f x的图像关于原点对称 （3）伸缩变换： 1 k 1： 收缩 k 0 k1：拉伸 k 1：拉伸 0k 1：收缩 （4）翻折变换： f x ,x0 fx ,x0 轴图像关于 y轴对称的图像 即正

6、半轴的图像不变，负半轴的原图像不要，换上与正半 f x ：f x 即x轴上方的图像不变，下方的图像沿 x轴对称的翻上 去。 3、二阶导函数与函数的凹凸性： （1）无论函数单调增还是单调减，其图像均有3种情况， 若一个函数的增减图像为则称函数为下凸函数 若一个函数的增减图像为则称函数为上凸函数 （2）上凸函数特点：增区间增长速度越来越慢，减区间下降速度越来越快 下凸函数特点：增区间增长速度越来越快，减区间下降速度越来越慢 （3）与导数的关系：设 f x的导函数为f x （即f x的二阶导函数），如图所示：增长 速度受每一点切线斜率的变化情况的影响，下凸函数斜率随 x的增大而增大，即f x 为增函

7、 数 f x0；上凸函数随x的增大而减小，即f x 为减函数 f x0； 综上所述：函数是上凸下凸可由导函数的增减性决定，进而能用二阶导函数的符号进行求解。 二、方法与技巧： 1、在处理有关判断正确图像的选择题中，常用的方法是排除法，通过寻找四个选项的不同， 再结合函数的性质即可进行排除，常见的区分要素如下： （1）单调性：导函数的符号决定原函数的单调性，导函数图像位于 x轴上方的区域表示原函 数的单调增区间，位于 x轴下方的区域表示原函数的单调减区间 （2）函数零点周围的函数值符号：可通过带入零点附近的特殊点来进行区分 （3）极值点 （4）对称性（奇偶性）易于判断，进而优先观察 （5）函数的

8、凹凸性：导函数的单调性决定原函数的凹凸性，导函数增区间即为函数的下凸部 分，减区间为函数的上凸部分。其单调性可由二阶导函数确定 2、利用图像变换作图的步骤： （1）寻找到模板函数f x（以此函数作为基础进行图像变换） （2）找到所求函数与 f x 的联系 （3）根据联系制定变换策略，对图像进行变换。 例如：作图： yln x1 第一步寻找模板函数为： f xln x 第二步寻找联系：可得 yf x1 第三步制定策略：由 f x1 特点可得：先将 f x 图像向左平移一个单位，再将 x轴下方 图像向上进行翻折，然后按照方案作图即可 3、如何制定图象变换的策略 （1）在寻找到联系后可根据函数的形式

9、了解变换所需要的步骤，其规律如下： 若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换 若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换 例如： yf 3x1 ：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤 yfx2：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标的为 平移变换 （2）多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在 安排顺序时注意以下原则： 横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求 横坐标的多次变换中，每次变换只有 x发生相应变化 2） ，此时系数2只是添给x，即fx1f 2x1 2） ，此时fxf 2x，再平移时，若平移a个单 1 位，则

10、f 2xf 2 xaf 2x2a（只对x加a） ，可解得a 2个单位，再进行放缩即可（a2） 2 f x 例 1：己知函数fxaxbxc，其导数f 例如：y f xyf 2x 1 可有两种方案 方案一：先平移（向左平移1 个单位），此时 f xf x1 。再放缩（横坐标变为原来的 1 方案二：先放缩（横坐标变为原来的 1 1 22 个单位 纵坐标的多次变换中，每次变换将解析式看做一个整体进行 例如： yf xy2f x1有两种方案 方案一：先放缩： yf xy2f x ，再平移时，将解析式看做一个整体，整体加1， 即 y2f xy1 方案二：先平移： yf xyf x1，则再放缩时，若纵坐标变

11、为原来的a倍，那么 yf x1ya f x1 ，无论 a取何值，也无法达到y2f x1，所以需要对 前一步进行调整：平移1 4、变换作图的技巧： （1）图像变换时可抓住对称轴，零点，渐近线。在某一方向上他们会随着平移而进行相同方 向的移动。先把握住这些关键要素的位置，有助于提高图像的精确性 （2）图像变换后要将一些关键点标出：如边界点，新的零点与极值点，与 y轴的交点等 三、例题精析： 值是（） 32 x 的图象如图所示，则函数 f x 的极大 A. abc B. 8a4bc C. 3a 2b D.c 思路：由图像可知： x0,2 时，f x0,f x单调递增， x2, 时， f x0,f x

12、 单调递减，所以 f x 的极大值为 f 28a4bc 答案： B 小炼有话说：观察导函数图像时首要关注的是函数的符号，即是在 x轴的上方还是下方，导函 例 3：函数fxe x1的部分图象为（ 2,0单调递减，且可估计当x，x e x 0即fx1，所以y1为函 数的符号决定原函数的单调性 例 2：设函数 yf(x)可导，yf (x)的图象如图所示，则导函数yf (x)的图像可能为 （） y yy yy O x O x O x O x O x 图 1 A BCD 思路：根据原函数的图像可得： f x 在 ,0 单调递增，在正半轴先增再减再增，故 f x 在负半轴的符号为正，在正半轴的符号依次为“

13、 正负正 ” ，观察四个选项只有 D 符合 答案： D 小炼有话说：本题可直接由导函数的符号来排除其他选项，若选项中也有符合D 中“负半轴 的符号为正，在正半轴的符号依次为 正负正”，那么可观察第二条标准：从图上看在 x负半 轴中，函数增长的速度越来越快，则说明切线斜率随x的增大而增大，进而导函数在x负半轴 也单调递增，依次类推可得到正半轴的情况，D选项依然符合特征 x 2 ） 思路： f xexx2e22xx x2 ex，可得f x在, 2 , 0,单调递增，在 2 x x2 e 数f x的渐近线，当 x,y 由此可判断出图像 A正确 （2）关于渐近线的判断：对于x，x e 将远远大于x，进

14、而比值趋于 例 5（2015 浙江文）：函数fxx cosxx, x0的图像可能为（ 以先判断函数奇偶性，可判断出fxx cosxxcosxfx 答案： A 小炼有话说：（1）本题考查的是通过分析函数性质作图，单调性是非常重要的一个要素，通 过单调性也可排除其他三个选项 2 x x 2 e x 0可这样理解，x时，x 2,ex 均趋向正无穷，但e x 的速度更快，进而伴随着x，e x 2 0，当x, 增长速度的排名为：直线（一次函数）二次函数 指数函数 例 4：函数 f x xln |x| |x| 的图像可能是（) yyyy 1 O 1 x 1 O 1 x 1 O 1 x 1 O 1 x AB

15、CD 思路：观察解析式可判断出 f x 故选择 B 答案： B xln x x 为奇函数，排除 A,C. 当x 0时，f x0lnx, 小炼有话说： f x xln | x| | x| 有两点可以优先观察：一个是奇偶性，则图像具有对称性，只 需考虑正半轴的情况即可；二是含有绝对值，可利用 x的符号去掉绝对值，进而得到正半轴的 解析式。 1 x ） 思路：观察 4 个选项的图像，其中A，B 图像关于y轴对称， C,D 图像关于原点中心对称。所 11 xx f cos xsin x, fx为fx的导函数，则fx的图像是 ( xsinxxcosx，f x 函数，图像关于原点中心对称，排除B, D。因

16、为f 11 26626 10，排 所以f x为奇函数，排除A，B，再观察 C,D 的区别之一就是 f 的符号，经过计算可得 11 0，所以排除 C 答案： D 例 6：已知 f x 思路： f x 1 2 1 2 4 1 2 x s inx，可判断f x为奇 除C。故A正确。 答案： A 6 sin 小炼有话说：f x 1 2 x sinx可优先判断出奇偶性，进而排除一些选项，对于A,C选项 而言，其不同之处有两点，一点是从 x0处开始的f x 符号，解析的思路也源于此，但需 ，除此之外，A,C图像的不同之处还在于从x0开始时fx的单 cosx，则x0,时，f x0，即f x 要代入特殊角进行判断，A选项的图中发现在 x轴正半轴中靠近y轴的函数值小于零，从而选 择最接近 0 的特殊角 6 调性，所以也可对 f x求导，f x 1 23 应先减再增。所以排除 C 例 7：下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是 () 关注公众号”品数学“，一起学数学吧！ 例 8：已