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1、1.4无穷小与无穷大、极限运算法则,一、无穷小（量）,定义1,例如,返 回,注意：,1.无穷小是一个以零为极限的变量,不能理解很 小很小的数;,2.零是可以作为无穷小的唯一的数.,3.分析 f (x) 是否为无穷小一定要考虑自变量 x 的 变化过程.如 时 是无穷小，但 时，则 不是无穷小。,返 回,无穷小的性质,两个无穷小的和或差，仍是无穷小。,性质1,推论： 有限个无穷小的代数和仍是无穷小，但无限个无穷小的 代数和不一定是无穷小。,例如：,返 回,推论:（1）常数与无穷小的乘积是无穷小； （2）有限个无穷小的乘积仍是无穷小。,返 回,无穷小与函数极限的关系,返 回,二、无穷大（量）,2.无
2、穷大是变量,不能与很大很大的数混淆;,注意,记为,返 回,例如，函数,返 回,定理 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.,无穷小与无穷大的关系,返 回,三、无穷小的比较,返 回,都是无穷小,引例 .,但,所以无穷小趋于零的速度不一样，因此引入阶的概念,定义:,返 回,(4)若,则称 是关于 的 k 阶无穷小;,常用等价无穷小:,用等价无穷小可给出函数的近似表达式:,例如,返 回,等价无穷小替换,定理(等价无穷小替换定理),证,返 回,例5,解,不能滥用等价无穷小代换.,对于代数和中各无穷小不能分别替换.,注意
3、,返 回,例6,解,解,错,返 回,三、极限运算法则,定理,证,由无穷小运算法则,得,返 回,返 回,存在x0的一个空心邻域，函数有界,推论1,常数因子可以提到极限记号外面.,推论2,返 回,由有界变量和无穷小的乘积为无穷小，,例1,=64+16-20-16=44。,求极限的方法举例,返 回,解,例2,返 回,小结:,1.,2.,返 回,例3,解,返 回,例4,根据无穷小的倒数是无穷大得：,返 回,例5,返 回,例6,返 回,例,返 回,用同样的方法可得公式：,返 回,(习惯上:以分母中自变量的最高次幂除分子、分母, 然后再求极限.),解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例8,返
4、回,解,例9,(消去零因子法),返 回,例10,解,(无穷小因子分出法),返 回,解,例11,返 回,解,例12,返 回,例1,解,先变形再求极限.,返 回,例1,解,返 回,例1,解,左右极限存在且相等,返 回,小 结,1.极限的四则运算法则及其推论;,2.极限求法;,a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.,返 回,3.无穷小的比较:,反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较.,4.等价无穷小的替换:,求极限的又一种方法, 注意适用条件.,高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶.,返 回,
