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1、1,第六章 多元函数积分学及其应用,多元数量值函数积分的概念与性质 二重积分的计算 三重积分的计算 第一型线积分与面积分 第二型线积分与面积分 各种积分的联系、三大定理,C.F.Gauss(1777-1855),2,多元函数积分学及其应用,Calculus of Functions of Several Variables 1. 概念和性质,3,本章内容,本章共涉及多元函数的六类积分，它们是,定积分概念在 空间的自然推广。,本章内容分为三部分,1. 多元数量值函数的积分及其应用(一类),二重积分,三重积分,一型线积分,一型面积分,5,1. 多元数量值函数积分的概念与性质,一、概念,定义：(多元
2、数量值函数积分),设有某几何形体 ，,其有界且可度量。函数,在 上有定义。,将 任意分为 个子块,6,若不论 如何划分，也不论在每个子块,每个子块的度量用,表示(非负，一般为正)；,在每个子块上任取点,作和式：,上点 如何选取, 当所有子块,7,度量的最大值,都存在且为同一定数，,则称 在 上可积，,并称此极限值为多元数量值函数,在 上的积分，并统一记为：,8,根据 与 的不同，有以下几类积分：,其中：,定积分 (Definite Integrals),9,三重积分 (Triple Integrals),二重积分 (Double Integrals),10,第一型曲线积分 (Curve Int
3、egrals),11,第一型曲面积分 (Surface Integrals),关于多元向量值函数所涉及的两种积分： 第二型曲线积分与第二型曲面积分将在后面 讲, 所以多元函数积分一共 6 种.,12,比较这几类积分：,1.共同点,解决的问题具共性, 都是求某一整体量,解决问题的方法一样：,( Riemann 积分思想- to integrate)，,求某一形体的质量：,取极限,近似,求和,细分,如,(达精确值),13,其数学结构一样, 都是求某种特殊结构 的和式的极限:,2.不同点在,积分区域不一样： 区间, 平面区域, 空间体, 曲线, 曲面.,被积函数不一样：一元,多元；,计算的方法有发展。,14,3. 多元数量值函数的可积性问题,与定积分一样， 在 上有界是可积,的必要条件；而 可度量，,连续，就一定可积 (一个充分条件)。,二、性质,1.线性性质,15,2.关于积分区域的可加性,3. 积分不等关系,若,16,若在 上，,当在,( 区间长,平面面积,体积,曲线长,曲面面积. ),17,积分中值定理：,所有第一类积分，积分平均值为,18,5月19日作业,看书:P.121P.127; 思考:P.127.习题6.1(A),
