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1、高考复习基本不等式及其应用 要点梳理 1.算术平均数与几何平均数 对于正数a,b，我们把 称为a,b的算术平均 数， 称为a,b的几何平均数. 2.基本不等式： （1）基本不等式成立的条件： . （2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号. （3）结论：两个正数a,b的算术平均数 其 几何平均数.,a0,b0,a=b,不小于,3.几个重要的不等式 (1)a2+b22ab(a,bR). 4.利用基本不等式求最值 设x,y都是正数. （1）如果积xy是定值P，那么当 时，和x+y有 最小值 . （2）如果和x+y是定值S，那么当 时积xy有最 大值 . 即“一正、二定、三相等”,这三 个条件缺一不可
2、.,2,x=y,x=y,基础自测 1.已知ab0，a,bR，则下列式子中总能成立的 是 . 解析 中不能保证 为正，中 未必为负，显然错误.,3.已知 的最小值为 . 解析 即x=10，y=6时，xy有最小值60. 4.设x,y为正数，则 的最小值为 . 解析 5+22=9当且仅当y=2x时取得最小值9.,60,9,【例1】（1）已知a0,b0,a+b=1,求证： (2)已知x,y,z是互不相等的正数，且x+y+z=1, 求证： 证明 （1）a0,b0,a+b=1, 所以原不等式成立. （2）x、y、z是互不相等的正数，且x+y+z=1,将三式相乘，得,跟踪练习1 （1）已知x0,y0,z0.
3、 求证： (2)求证：a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2abc(a+b+c). 证明 （1）x0,y0,z0, （当且仅当x=y=z时等号成立）,（2）a4+b42a2b2,b4+c42b2c2,c4+a42c2a2, 2(a4+b4+c4)2(a2b2+b2c2+c2a2), 即a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2, 又a2b2+b2c22ab2c,b2c2+c2a22abc2, c2a2+a2b22a2bc, 2(a2b2+b2c2+c2a2)2(ab2c+abc2+a2bc), 即a2b2+b2c2+c2a2ab2c+abc2+a2bc =abc(a+b+c). a4+
4、b4+c4a2b2+b2c2+c2a2abc(a+b+c).,【例2】 （1）已知x0,y0，且 求x+y 的最小值； （2）已知x ,求函数 的最 大值； （3）若x,y(0,+)且2x+8y-xy=0，求x+y的最 小值. （1）注意条件中“1”的代换，也可用三 角代换. （2）因为4x-50，所以要先“调整”符号； 又(4x-2) 不是常数，所以对4x-2要添 项“配凑”.,分析,（3）可利用xy与x+y的关系，转化为只含有x+y 的不等式，或将x+y转化为只含一个变量的函 数，再求其最值. 解 （1）x0,y0,即x=1时，上式等号成立， 故当x=1时，y取得最大值1. (3)由2x+
5、8y-xy=0,得2x+8y=xy, 又2x+8y-xy=0,x=12,y=6, 当x=12,y=6时，x+y取最小值18.,跟踪练习2 （2010徐州模拟）解下列问题： （1）已知a0,b0，且4a+b=1，求ab的最大值； （2）已知x2,求 的最小值. 解（1）a0,b0,4a+b=1, 1=4a+b2 当且仅当4a=b= 即 时，等号成立.,【例3】 （1）已知x0,y0,lg x+lg y=1，求 的最小值. （2）设x-1，求函数 的最值. 由lg x+lg y=1可得xy=10为定值. 可化为 的形式再用基本不等式. （1）解 方法一 由已知条件lg x+lg y=1, 可得xy
6、=10. 则 当且仅当2y=5x，即x=2,y=5时等号成立.,分析,方法二,跟踪练习3 函数y=loga(x+3)-1(a0,a1)的图 象恒过点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中 mn0，则 的最小值为 . 解析 A（-2，-1）在直线mx+ny+1=0上， -2m-n+1=0, 即2m+n=1,mn0,m0,n0.,8,【例4】（14分）某养殖厂需定期购买饲料，已知 该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格 为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克 每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元. （1）求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每 天支付的总费用最少？ （2）若提
7、供饲料的公司规定，当一次购买饲料 不少于5吨时其价格可享受八五折优惠（即为原 价的85%）.问该厂是否可以考虑利用此优惠条 件？请说明理由.,解题示范 解 （1）设该厂应隔x(xN+)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y1. 饲料的保管与其他费用每天比前一天少 2000.03=6(元), x天饲料的保管与其他费用共是 6(x-1)+6(x-2)+6=3x2-3x(元). 2分 从而有y1= (3x2-3x+300)+2001.8 = +3x+357417. 4分 当且仅当 =3x，即x=10时，y1有最小值. 即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少. 6分,（2）若厂家利用
8、此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔x天（x25）购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y2，则 y2= (3x2-3x+300)+2001.80.85 = +3x+303(x25). 10分 y2=- +3, 当x25时，y20，即函数y2在25,+）上是增函数， 当x=25时，y2取得最小值为390. 而390417. 该厂可以接受此优惠条件. 14分,跟踪练习4 西北西康羊皮手套公司准备投入适当 的广告费，对生产的羊皮手套进行促销.在1年 内，据测算年销售量S（万双）与广告费x(万元) 之间的函数关系为 (x0)，已知羊皮手 套的固定投入为3万元，每生产1万双羊
9、皮手套 仍需再投入16万元.（年销售收入=年生产成本 的150%+年广告费的50%）. （1）试将羊皮手套的利润L（万元）表示为年广 告费x(万元)的函数； （2）当年广告费投入为多少万元时，此公司的 年利润最大，最大利润为多少？（年利润=年销 售收入-年广告费）.,解 （1）由题意知，羊皮手套的年成本为（16S+3）万元， 年销售收入为（16S+3）150%+x50%， 年利润L=（16S+3）150%+x50%-（16S+3）-x， 即L= （16S+3-x），得 因此，当年广告费投入4万元时，此公司的年利润最大，最大利润为21.5万元.,思想方法 感悟提高 高考动态展望 从近几年的高考试
10、题看，基本不等式 的应用一直是高考命题的热点，在填空题、解答题中都有可能出现，一是运用基本不等式证明不等式；二是利用基本不等式求函数的最值（或值域）.今后高考命题仍会考查基本不等式的应用，且以考查求函数的最值为主要命题方向.基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查的知识点之一，它的应用范围涉及高中数学的很多章节，且常考常新，但是它在高考中却不外乎大小判断、求最值、求取值范围等.,方法规律总结 1.a2+b22ab成立的条件是a,bR，而 成立，则要求a0且b0.使用时，要明确定理 成立的前提条件. 2.在运用重要不等式时，要特别注意“拆、拼、 凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”
11、 （即条件中要求字母为正数）、“定”（不等式 的另一边必须为一定值）、“等”（等号取得 的条件）的条件. 3.注意掌握重要不等式的逆用，变化形式的特点. 4.不等式知识在数列、向量、解析几何、三角函 数都有所体现，主要有解（证）不等式，求最 值问题.,定时检测 一、填空题 1.（2009山西阳泉期末）函数y=log2x+logx(2x) （x1）的值域是 . 解析 y=log2x+logx(2x)=1+(log2x+logx2), 如果x1，则log2x+logx22， 如果0x1，则log2x+logx2-2， 函数的值域为（-,-13,+).,（-,-13,+),2.（2009大连一模）已
12、知0x1，则x(3-3x)取 得最大值时x的值为 . 解析 0x1,x(3-3x)=3x(1-x),3.（2010四平调研）已知x0,y0,x,a,b,y 成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则 的最小值是 . 解析 由x、a、b、y成等差数列知a+b=x+y 由x、c、d、y成等比数列知cd=xy 把代入 得 的最小值为4.,4,4.（2010南通模拟）设 则函数 的最小值为 . 解析,5.（2010江苏南通一模）某汽车运 输公司购买了一批豪华大客车，投 放市场客运.据市场分析，每辆客 车营运的总利润y(单位：10万元)与 营运年数x(xN+)为二次函数关系， 如图，则每辆客车营运 年，其
13、营运年平均 利润最大. 解析 求得函数式为y=-(x-6)2+11, 则营运的年 平均利润,5,6.（2008徐州调研）若实数a,b满足ab-4a- b+1=0 (a1),则（a+1）(b+2)的最小值为 . 解析 ab-4a-b+1=0, a1,b0. ab=4a+b-1, (a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=6a+2b+1 =6a+ 2+1 当且仅当(a-1)2=1,即a=2时成立. 最小值为27.,27,7.（2009长春模拟）在满足面积与周长的数值 相等的所有直角三角形中，面积的最小值是 . 解析 设直角三角形的两直角边分别为a,b，则 斜边为,8.（2010南京调研）已知a0,
14、b0，a、b的等差 中项是 的最小值是 . 解析 由条件a+b=1，又a+b , ab (当a=b= 时取等号).,5,9.（2009常州模拟）已知关于x的不等式 在x(a,+)上恒成立，则实数 a的最小值为 . 解析 xa,二、解答题 10.（2010盐城模拟）函数f(x)对一切实数x,y 均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0. （1）求f(0); (2)求f(x); (3)当0ax-5恒成立，求a的 取值范围. 解 （1）令x=1,y=0，得f(1+0)-f(0) =(1+20+1)1=2， f(0)=f(1)-2=-2. (2)令y=0, f(x+0)-f(
15、0)=(x+20+1)x=x2+x, f(x)=x2+x-2.,(3)f(x)ax-5化为x2+x-2ax-5, 即axx2+x+3,x(0,2), 当x(0,2)时，1+x+ 1+ , 当且仅当x= ，即x= 时取等号, 由 (0,2)，得(1+x+ )min=1+ , a1+ .,11.（2010无锡模拟）某单位用2 160万元购得 一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、 每层2 000平方米的楼房.经测算，如果将楼房 建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用 为560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米 的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ （注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费 用，平均购地费用= ）,解 设将楼房建为x层，则每平方米的平均综合费 用为f(x)元，则 当x15时，f(x)0；当10 x15时，f(x)0 因此，当x=15时，f(x)取最小值f(15)=2 000. 答 为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层.,返回,
