《65广义积分04238讲义教材》由会员分享，可在线阅读，更多相关《65广义积分04238讲义教材（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五节、广义积分,一、无穷积分,二、瑕积分,2020/8/7,微积分II 第六章定积分,2,前面讨论的定积分不仅要求积分区间a , b有限, 而且还要 求被积函数(x)在a , b上有界. 然而实际还常常遇到无限区间 或无界函数的积分问题. 比如：,我们将积分区间无限的积分称为无穷积分, 将被积函数无界,的积分称为瑕积分, 它们统称为广义积分(或称为反常积分). 相,应, 前面的积分称为正常积分或狭义积分.,2020/8/7,微积分II 第六章定积分,3,一.无穷积分,设(x)在a, +)上连续, 若极限,定义6.5.1,将积分区间无限的积分称为无穷积分，无穷区间有三种形式：,为简单起见, 广
2、义积分可以简化为,其中,2020/8/7,微积分II 第六章定积分,5,当 p =1时,当 p 1时,当 p 1时,综上所述,收敛;,发散.,当 p 1时,例 2,讨论无穷积分,时发散？,当p取何值时收敛, 取何值,解,以下广义积分收敛的是（ ）,2020/8/7,微积分II 第六章定积分,6,函数 f(x) 在(-, +)上连续，其广义积分为,类似地, 可定义,定义6.5.2,其中c为任意实数. 当上式右端两个积分都收敛时, 称广义积分,是收敛的;,为简单起见, 广义积分可以简化为,其中,2020/8/7,微积分II 第六章定积分,7,如果函数f(x)在区间a,b上无界，即f(x)在a,b上
3、的某个点无界，,2.瑕积分,这个无界点可能是端点可能是a，b之间的某个点。,设 f(x)在a, b)上连续, 且x=b 是f(x)的暇点, 若极限,定义 6.5.3,定义6.5.4,存在, 则称此极限为函数f(x)在a, b)上的暇积分. 记为,解 因为,例4 计算积分,所以x=0是一个瑕点.,2020/8/7,微积分II 第六章定积分,9,当 p 1时,因为x = 0为瑕点, 所有当 p = 1时,例6,讨论瑕积分,的敛散性,解：,综上所述,当 p1时,发散.,当 p1时,收敛;,以下广义积分收敛的是（ ）,下面介绍在数学、物理等许多领域中都有广泛应用的特殊积分函数.,三*.函数,定义6.5.5 参变量 s 的函数,注1 当s 0时, 定义6.5.4中的广义积分收敛.,也是一个(瑕点为x = 0)瑕积分.,称为 函数.,递推公式: (s + 1) = s(s) (s 0)., 函数的基本性质:,特别地,证,反复用递推公式, 则有(n + 1) = n!,计算积分：,例8,递推公式: (s + 1) = s(s) (s 0).,反复用递推公式, 则有(n + 1) = n!,解：,
