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1、习题课,一、重积分计算的基本方法,二、重积分计算的基本技巧,三、重积分的应用,重积分的 计算 及应用,一、重积分计算的基本方法,1. 选择合适的坐标系,使积分域多为坐标面(线)围成;,被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.,2. 选择易计算的积分序,积分域分块要少, 累次积分易算为妙 .,图示法,列不等式法,(从内到外: 面、线、点),3. 掌握确定积分限的方法, 累次积分法,例1.计算积分,其中D 由,所围成 .,提示:如图所示,连续,所以,解:,例3.,在极坐标系中，闭区域,D 可表示为,例 4. 计算,所围成.,其中 由,分析：若用“先二后一”, 则有,计算较繁!,采用“三次积分”较好.,
2、所围,故可,思考: 若被积函数为 f ( y ) 时, 如何计算简便?,表为,解:,2 (3). 计算二重积分,其中D 为圆周,所围成的闭区域.,提示: 利用极坐标,原式,P182,练习,P182 2 (3) ; 7; 8 (1), (3),7. 把积分,化为三次积分,其中由曲面,提示: 积分域为,原式,及平面,所围成的闭区域 .,P183,8 (1) .计算积分,其中是两个球,( R 0 )的公共部分.,提示: 由于被积函数缺 x , y ,原式 =,利用“先二后一” 计算方便 .,P183,8 (3).计算三重积分,其中是由,xoy平面上曲线,所围成的闭区域 .,提示: 利用柱坐标,原式,
3、绕 x 轴旋转而成的曲面与平面,P183,二、重积分计算的基本技巧,分块积分法,利用对称性,1. 交换积分顺序的方法,2. 利用对称性或重心公式简化计算,3. 消去被积函数绝对值符号,例5.改变下列二次积分的积分次序：,解,(1) 积分区域为,将 D 向 y 轴投影。,积分区域为,将 D 向 x 轴投影,例6.,如图所示,交换下列二次积分的顺序:,解:,解,练习:,解,(1)D 是 Y型。,将 D 向 y 轴投影。,求交点：,于是，,D 是 X型。,将 D 向 x 轴投影。,得,在极坐标系中，闭区域,D 可表示为,在极坐标系中，D 可表示为,设函数,D 位于 x 轴上方的部分为D1 ,当区域关
4、于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍,在 D 上,在闭区域上连续,域D 关于x 轴对称,则,则,有类似结果.,在第一象限部分, 则有,重积分中对称性的应用,例8. 计算二重积分,其中:,(1) D为圆域,(2) D由直线,解: (1) 利用对称性.,围成 .,(2) 积分域如图:,将D 分为,添加辅助线,利用对称性 , 得,例9. 计算二重积分,在第一象限部分.,解: (1),两部分, 则,其中D 为圆域,把与D 分成,作辅助线,(2) 提示:,两部分,说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.,作辅助线,将D 分成,例10. 证明:,其中D 为,解: 利用题中 x
5、, y 位置的对称性, 有,又 D 的面积为 1 ,故结论成立 .,例11. 计算,其中,解:,利用对称性,例12 设由锥面,和球面,所围成 , 计算,提示:,利用对称性,用球坐标,例13. 计算二重积分,其中D 是由曲,所围成的平面域 .,解:,其形心坐标为:,面积为:,积分区域,线,质心坐标,证明:,提示: 左端积分区域如图,交换积分顺序即可证得.,P182 4.,练习题,P182 1; P182 4, 11,11. 在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上 , 要接上一,个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,使整个,的另一边长度应为多少?,提示: 建立坐标系如图.,由对称性知,由此解得,问
6、接上去的均匀矩形薄片,即有,薄片的重心恰好落在圆心上 ,三、重积分的应用,1. 几何方面,面积 ( 平面域或曲面域 ) , 体积 , 形心,质量, 转动惯量, 质心, 引力,证明某些结论等,2. 物理方面,3. 其它方面,例4. 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.,解: 设两个直圆柱方程为,利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,利用“先二后一”计算.,例15. 试计算椭球体,的体积 V.,解,解,求交线：,将 向 xoy 面投影，得,或,即,过 (, )D 做平行于 z 轴 的直线，得,例17.,证明,证:左端,= 右端,例18.,解: 在球坐标系下,利用洛必达法则与导数定义,得,其中,例19.,设函数 f (x) 连续且恒大于零,其中,(1) 讨论 F( t ) 在区间 ( 0, +) 内的单调性;,(2) 证明 t 0 时,(03考研),解: (1) 因为,两边对 t 求导, 得,(2) 问题转化为证,即证,故有,因此 t 0 时,因,
