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1、第八讲 全微分,一、全微分的定义 二、全微分存在的必要条件 三、全微分在近似计算中的应用,一元函数y=f(x)在点x0处的微分：,其中,一、全微分的定义,设二元函数z=f(x,y)在点(x0 ,y0)的某邻域内 有定义.当自变量x，y在点(x0,y0)的该邻域内分 别取得增量 和 时，函数的全增量为,引例、 设矩形金属薄板长为x，宽为y，则面积S=xy.薄板受热膨胀，长自x0增加 ，宽自y0增加 ，其面积相应增加,全增量 由 三项组成. 比其余两项小得多.,所以全增量 只是 的函数.,将增量 分离出 和 的线性部分 ,再加上一项比 高阶的无穷小 .,又因为x0，y0为常数，,定义8、6 设二元
2、函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某 邻域内有定义，如果z=f(x,y)在点(x0,y0)的全增量,可表示为,其中A，B与 无关， 是比 高阶的无穷小，则称 为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分，记作dz，即,也称函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微.,与一元函数类似，全微分dz是 的 线性函数， 是比 高阶的无穷小.当 充分小时，可用全微分dz作为函 数的全增量 的近似值.,二、全微分存在的必要条件,定理8.2 (全微分存在的必要条件) 如果函数 z=f(x,y) 在点 (x0,y0) 处可微，则f(x,y)在该点的两个偏导数存在，并且A=fx(x0,y0), B
3、=fy(x0,y0).,与一元函数微分类似，规定自变量x，y的增量等于自变量的微分dx，dy，即 .于是全微分又可写成,这个可定理得到全微分的计算公式：,如果函数f(x,y)在开区域D内每一点处都可微，则称f(x,y)在域D内是可微的.这样，域D内任一点处的全微分为,或写成,如果函数 z=f(x,y) 在点(x0,y0) 的某一领域内偏导数存在，且在这一点处连续，则函数 z=f(x,y) 在点(x0,y0)处可微。,定理8.3 (全微分存在的充分条件) （了解）,注：函数可微则函数的偏导数一定存在； 但函数的偏导数存在，函数不一定可微。,上面两个个定理可以完全推广到三元和三元以上的多元函数.如三元函数 u=f(x,y,z) 的全微分存在，则有,例1 求z=xy在点(2,3)处，关于 的全增量与全微分.,解,例2 求 的全微分.,解,所以在点(x,y)处的全微分为：,例3 求 在点(2,1)处的全微分.,解：,所以在点(2,1)处的全微分为,例4 求 的全微分.,解： 因为,三、全微分在近似计算中的应用,，,例2、计算 的值。,解：令,
