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1、傅里叶级数,第七节,一、问题的提出,在现实生活中，常常会碰到周期现象,反映周期,现象的函数是周期函数,如交流电的电流强度，,弹簧的无阻尼自由振动等，,它们都可以用正弦函数,y =Asin(x+) 来描述,但并非所有周期函数都可以,用正弦函数来描述，,中的半波整流，,便不能用,一个正弦函数来描述,如电路,我们把能用正弦函数表示的量称为正弦量,不能用正弦函数表示的量称为非正弦量,那么非正弦量是否可以表示为无限个正弦量之和呢？,傅里叶级数对此作出了回答,二、三角级数、三角函数系的正交性,1. 三角级数的概念,它可以表示为以 T 为周期的正弦函数,所构成的级数，即,为方便起见，将其变形,则有,我们称级
2、数(*)为三角级数,以 为周期的三角函数系：,在周期长的区间 上是正交的,2. 三角函数系的正交性,三、函数展开成傅里叶级数,三角函数系的正交性，,若函数 f (x) 能展开为三角级数，即,计算其系数 an，bn,我们可以利用,我们把,称为函数 f (x) 的傅里叶系数，,由它们所构成的,三角级数,称为函数 f (x) 的傅里叶级数，,下面我们需要讨论 f (x) 的傅里叶级数收敛域是什么？,且在收敛域内级数是否收敛于 f (x)？,对此我们有以下定理,记作,f (x) ,？,？,狄利克雷定理,设 是以 为周期的周期函数，,如果它在周期长的区间 上满足：,则函数 f (x) 的傅里叶级数,收敛
3、，,注意,函数展开成傅里叶级数的条件比展开成,2. 傅里叶级数的收敛准则,幂级数的条件宽松的多,傅里叶级数为,f (x) ,其中,则其,f (x) ,其中,f (x) ,其中,傅里叶级数为,f (x) ,其中,则其,解,所以,例1,播放,则,例2,解,所以,例3,试证明：,证,结论得证,四、正弦级数与余弦级数,一般说来，一个函数的傅里叶级数既含有正弦项，,只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项,又含有余弦项,但是也有一些函数的傅里叶级数,我们把只含正弦项的傅里叶级数称为正弦级数；,只含常数项和余弦项的傅里叶级数称为余弦级数,由函数傅里叶系数的计算公式知：,奇函数的傅里叶系数,偶函数的傅里叶系数,所以奇函数的傅里叶级数是正弦级数；,偶函数的傅里叶级数是余弦级数,则其傅里叶系数,f (x) ,则其傅里叶系数,f (x) ,正弦级数,余弦级数,则其傅里叶系数,f (x) ,则其傅里叶系数,f (x) ,例4,解,所以,观察两函数图形,证 (1),证 (2),则,则,则,则,则,则,则,则,则,则,则,则,则,则,
