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1、1.1 你能证明它们吗（二）,第2课时,九年级（上）第一章证明（二）,公理：三边对应相等的两个三角形全等（） 公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) 公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) 公理：全等三角形的对应边、对应角相等。,推论：两角及其中一角的对应边相等的两个三角形全等(AAS),定理: 等腰三角形的两个底角相等,简称:等边对等角,推论: 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合 (三线合一),上节知识要点回顾,等腰三角形 知 识 回 顾,等腰三角形顶角的平分线、 底边上的中线、底边上的高 互相重合。,顶角,【定义】,【性质定理】,【性质定
2、理 的推论】,有两边相等的三角形叫做等腰三角形;,高,(简称:“三线合一”),本节课学些什么？,等腰三角形还具有哪些重要的性质? 除了用定义来判定三角形是等腰三角形外, 还有一些什么简单的方法来判定三角形是等腰三角形?,这就是本节课的学习的主要内容。,在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、中线，高线），你能发现其中一些相等的线段吗？你能证明你的结论吗？,命题的证明,例题欣赏,1,例1 求证:等腰三角形两底角的平分线相等.,证明:AB=AC ABC=ACB(等边对等角). 又1= ABC,2=ACB 1=2 在BDC与CEB中， DCB= EBC BC=CB 1=2 BDCCEB（ASA）.
3、BD=CE(全等三角形的对应边相等),已知:如图,在ABC中,AB=AC,BD,CE是ABC角平分线. 求证:BD=CE.,等腰三角形的两腰上的中线相等吗？ 等腰三角形的两腰上的高线相等吗？ 还有其他的结论吗？请你证明它们， 并与同伴进行交流。,命题的证明,求证:等腰三角形两腰上的中线相等.,证明:AB=AC ABC=ACB(等边对等角). CM= AC, BN= AB CM=BN,已知:如图,在ABC中,AB=AC,BM,CN是ABC两腰上的中线. 求证:BM=CN.,在BMC与CNB中， BC=CB，MCB=NBC, CM=BN（已证）, BMCCNB（SAS）. BM=CN(全等三角形的
4、对应边相等),命题的证明,求证:等腰三角形两腰上的高相等.,证明:AB=AC ABC=ACB(等边对等角). BPAC,CQAB BPC=CQB=900,已知:如图,在ABC中,AB=AC,BP,CQ是 ABC两腰上的高. 求证:BP=CQ.,在BPC与CQB中, BPC=CQB, PCB=QBC, BC=CB BPCCQB（AAS）. BP=CQ(全等三角形的对应边相等),学无止境,合作探究 探究一：第二个问题,等腰三角形中的相等的线段(2),这里是一个由特殊结论归纳出一般结论的一种数学思想方法.,1.已知:如图,在ABC中, (1)如果ABD= , ACE= , 那么BD=CE吗? 如果A
5、BD= , ACE= 呢? 由此你能得到一个什么结论?,(2)如果AD= , AE= , 那么BD=CE吗?,(3)你能证明得到的结论吗？,如果AD= , AE= 呢?,由此你能得到一个什么结论?,过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等.,两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等.,我们已经证明了“等腰三角形的两个底角相等”，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？你能证明吗？,探 究 二,已知:如图,在ABC中,BC. 求证:AB=AC.,如：作BC边上的中线； 作A的平分线 作BC边上的高.,几何的三种语言,等腰三角形判定定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）.,
6、在ABC中 BC（已知）， AB=AC（等角对等边）.,这又是一个判定两条线段相等方法之一.,证明命题的新思路,路边苦李 古时候有个人叫王戍，7岁那年的某一天和小朋友在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小朋友们都跑去摘，只有王戍站着没动。小朋友问他为何不去摘，他说：“树长在路边，如果李子是甜的,那么早没了,现在李子那么多，肯定李子是苦的，不好吃。”小朋友摘来一尝，李子果然苦的没法吃。,学无止境,小明说： 在一个三角形中，如果两个角所对的边不相等,那么这两个角也不相等.,你认为这个结论成立吗? 如果成立,你能证明它吗?,即在ABC中,如果ABAC,那么BC.,小明是这样想的:,
7、你能理解他的推理过程吗?,假设B=C, 那么根据“等角对等边” 得AB=AC,与已知条件是ABAC相矛盾， 因此假设不成立,原命题成立 即BC.,学无止境,小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明便是的结论一定成立.这种证明方法称为反证法(reduction to absurdity),反证法,1.假设:先假设命题的结论不成立; 2.归谬:从这个假设出发,应用正确的推论方法, 得 出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛 盾的结果; 3.结论:由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命 题的结论正确.,用反证法证明的一般步骤:,你可要结识
8、“反证法”这个新朋友噢!,随堂检测,2.如何证明这个结论: 如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数,且a1+a2+a3+a4+a5=1,那么,这五个数中至少有一个大于或等于1/5.,用反证法来证: 证明:假设这五个数全部小于1/5,那么这五个 数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.这与已知 这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.因 此假设不成立, 原命题成立,即这五个数 中至少有一个大于或等于1/5.,成功者的摇篮,7.用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角 已知：ABC 求证：A、B、C中不能有两个角是直角,证明： 假设A、B、C中有两个角是直角， 不妨设A=B=
9、90，则 A+B+C=90+90+C180 这与三角形内角和定理矛盾， 所以A=B=90不成立 所以一个三角形中不能有两个角是直角,2. 用反证法证明:在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60,证明: 假设A ,B, C是ABC的三个内角, 且都大于60, 则A 60,B 60, C 60, A+B+C180; 这与三角形的内角和是180定理矛盾,假设不成立,在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60.,成功者的摇篮,www.1230.org 初中数学资源网,知识要点:,结论3:等腰三角形两底角的平分线相等.,定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形. 简称:等角对等边.,结论4:等腰三角
10、形两腰的高线、中线分别相等.,反证法认识你吗?,www.1230.org 初中数学资源网,结论1: 等腰三角形腰上的高线与底边的夹角等于顶角的一半.,知识要点:,结论2:等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高,www.1230.org 初中数学资源网,回味无穷,理解证明的必要性和规范性. 理解几何命题证明的方法,步骤,格式及注意事项. 你对“执果索因”,“由因导果”理解与运用有何进步. 规范性中的条理清晰,因果相应,言心有据的要求是否内化为一种技能. 几何的三种语言融会贯通的水平是否有所提高. 关注知识,经验,方法的积累和提高,是前进的推进器. 你准备如何提高证明命题的能力呢?,www.1230.org 初中数学资源网,结束寄语,严格性之于数学家,犹如道德之于人. 证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.,
