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1、1,第三节 格林公式及其应用(2),二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,三、二元函数的全微分求积,2,定理2. 设D 是单连通域 ,在D 内,具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有,(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分,(3),(4) 在 D 内每一点都有,与路径无关, 只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在 D 内是某一函数,的全微分,即,注：两个前提条件缺一不可,3,说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为,证明 (1) (2),设,为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲,线,则,(根据条件(1),5,证明 (3) (4),设存在函
2、数 u ( x , y ) 使得,则,P, Q 在 D 内具有连续的一阶偏导数,从而在D内每一点都有,6,证明 (4) (1),设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图) ,利用格林公式 , 得,所围区域为,证毕,7,说明:,根据定理2 , 若在某区域内,则,2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:,及动点,或,则原函数为,若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;,取定点,1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;,8,例1. 计算,其中L 为上半,从 O (0, 0) 到 A (4, 0).,解: 为了使用格林公式
3、, 添加辅助线段,它与L 所围,原式,圆周,区域为D , 则,9,例2. 验证,是某个函数的全微分, 并求,出这个函数.,证: 设,则,由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使,。,。,10,例3. 验证,在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函,数 , 并求出它.,证: 令,则,由定理 2 可知存在原函数,11,或,12,三、二元函数的全微分求积,考虑表达式,如果存在一个函数,使得,则称,并将,全微分式,为一,原函数.,13,由,例,可知:,都是,分别是上面的,原函数.,全微分式.,14,解,积分与路径无关,1989年研究生考题, 计算,5分,设曲线积分,与路径无关,具有连续的导数,
4、例,即,15,(1,0),法一,设曲线积分,与路径无关,具有连续的导数,16,法二,设曲线积分,与路径无关,具有连续的导数,17,例,问 是否为全微分式?,用曲线积分求其一个原函数.,如是,解,在全平面成立,所以上式是全微分式.,因而一个原函数是：,全平面为单连通域，,法一,(x,y),18,这个原函数也可用下法“分组”凑出:,法二,19,因为函数u满足,故,从而,所以,问 是否为全微分式?,用曲线积分求其一个原函数.,如是,由此得,y的待定函数,法三,20,内容小结,1. 格林公式,2. 等价条件,在 D 内与路径无关.,在 D 内有,对 D 内任意闭曲线 L 有,在 D 内有,设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有,21,思考与练习,1. 设,且都取正向, 问下列计算是否正确 ?,提示:,22,2. 设,提示:,23,3. 设 C 为沿,从点,依逆时针,的半圆, 计算,解: 添加辅助线如图 ,利用格林公式 .,原式 =,到点,24,4. 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到,点B(3, 4),到原点的距离,解: 由图知,故所求功为,锐角,其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为,
