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1、第五章 傅里叶变换,函数的表示？,第五章 傅里叶变换,函数空间、函数坐标系、函数坐标轴？,第五章 傅里叶变换,构成空间的必要元素：距离、角度 三角不等式： 建立函数坐标系的条件：完备、正交、（归一）,第五章 傅里叶变换,函数的范数（长度2、距离2）： 范数一定为实数且一定大于等于0。,第五章 傅里叶变换,函数内积满足不等式： 对照： 等号成立当且仅当两函数差一常数，即互相“平行”。 (f,g)=0，即称两函数正交（“垂直”）。 (f,f)=1，称为f函数归一。,第五章 傅里叶变换,正交函数族：,第五章 傅里叶变换,函数线性相关： 正交函数族中的函数必定线性无关。,第五章 傅里叶变换,正交化：N
2、个函数线性无关，一定可以从中建立N个正交归 一的基函数 ,第五章 傅里叶变换,贝塞尔不等式： 使左侧极小，求系数ci，得 代入有：,第五章 傅里叶变换,完备性条件：如果某正交归一函数组1， 2， 3， 对于任意分段连续函数f(x)可以使得均方误差趋于0，即 即称之为一组完备函数基。如果 一致收敛， 则有,第五章 傅里叶变换,$5.1 傅里叶级数 定义在0,2上的函数族 为一组正交完备 函数族。 因此，任何定义在0,2上或者以2为周期的函数f(x)均可以 展开为傅里叶级数： 定义在有限区间上的函数是通过延拓的办法成为周期函数的。,第五章 傅里叶变换,实数形式的傅里叶展开与复数形式的傅里叶展开：,第五章 傅里叶变换,奇函数与偶函数的傅里叶展开： 奇函数： 偶函数：,第五章 傅里叶变换,定义在-l，l上的傅里叶展开：,第五章 傅里叶变换,傅里叶级数系数的求解： 如果f(x) 为实函数，有,第五章 傅里叶变换,傅里叶级数的收敛性质（狄里希利定理）： 1）分段连续，且为第一类间断点； 2）周期内只有有限个极值点； 则傅里叶级数收敛，且该级数在间断点等于左极限与右极限 和的一半。,第五章 傅里叶变换,例：将该函数展开为-1,1上的傅里叶级数。 解：第k项的系数ck为 因此,第五章 傅里叶变换,其傅里叶展开式为：,第五章 傅里叶变换,作业：2,6.1(p92),
