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1、,2020年8月7日星期五,3.2.1 几类不同增长的函数模型,你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗?,大约在一千五百年前,大数学家孙子在孙子算经中记载了这样的一道题:“今有雏兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雏兔各几何?”,这四句的意思就是:有若干只鸡和兔,共有35个头,94只脚,那么鸡和兔各有多少只?,引入,大约在一千五百年前,大数学家孙子在孙子算经中记载了这样的一道题:“今有雏兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雏兔各几何?”,他假设砍去每只鸡和兔一半的脚,则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔”.,孙子的大胆解法:,这样,“独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差
2、,就是兔子数.,鸡数就是:351223.,即兔子数是:473512;,引入,有一大群喝水、嬉戏的兔子,但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋,1859年,有人从欧洲带进澳洲几只兔子,由于澳洲有茂盛的牧草,而且没有兔子的天敌,兔子数量不断增加,不到100年,兔子们占领了整个澳大利亚,数量达到75亿只,教科书第三章的章头图:(澳大利亚兔子数“爆炸”),可爱的兔子变得可恶起来,75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草,草原的载畜率大大降低,而牛羊是澳大利亚的主要牲口,这使澳大利亚头痛不已,他们采用各种方法消灭这些兔子,直至二十世纪五十年代,科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔,澳大利亚人才算松
3、了一口气,教科书第三章的章头图:(澳大利亚兔子数“爆炸”),一般而言,在理想条件(食物或养料充足,空间条件充裕,气候适宜,没有敌害等)下,种群在一定时期内的增长大致符合“J”型曲线;在有限环境(空间有限,食物有限,有捕食者存在等)中,种群增长到一定程度后不增长,曲线呈“S”型,可用指数函数描述一个种群的前期增长,用对数函数描述后期增长的.,教科书第三章的章头图:(澳大利亚兔子数“爆炸”),1.数学模型:,就是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时,所得出的关于实际问题的数学描述.,2.数学模型方法:,是把实际问题加以抽象概括,建立相应的数学模型,利用这些模型来研
4、究实际问题的一般数学方法.,基本概念,例1.假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方 案供你选择,这三种方案的回报如下:,方案一:每天回报40元.,方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元.,方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一倍.,请问你会选择哪种投资方案?,范例讲解,例1.假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方 案供你选择,这三种方案的回报如下:,方案一:每天回报40元,,方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元,,方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一倍,,解:设第x天所得回报是y元,常函数,正比例函数,指数型函数,进行描述
5、,范例讲解,三种方案所得回报的增长情况:,范例讲解,三种方案累计的回报数:,结论: 投资8天以下(不含8天),应选择第一种投资 方案;投资810天,应选择第二种投资方案;投资 11天(含11天)以上,则应选择第三种投资方案.,范例讲解,例2.某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制 定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到 10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金 y (单位:万 元)随销售利润x的增加而增加,但奖金总数不超过 5万元,同时奖金不超过利润的25%,现有三个奖励 模型: 其中哪个模型能符合公司的要求?,范例讲解,分别做出函数,的图象,范例讲解,(1)确定奖金总数不超过5万的
6、模型:,通过函数图像直观的观察,利用函数的值域来确定,结论: 符合要求。,分析步骤:,(2)计算按模型 奖励时,奖金是 否不超过利润的25,范例讲解,令,作出函数 的图象:,范例讲解,由图象可知它是递减的,因此,即,所以,当x 10,1000 时,,说明按模型 奖励,奖金不会 超过利润的25。,综上所述,模型 确实能符合 公司要求。,范例讲解,一次函数y=kx+b(k0)、 指数函数y=ax(a1)、 对数函数y=logax (a1)、 幂函数y=xn (n0) 在(0,+)上都是增函数.,为便于研究它们的增长差异,不妨以一次函数y=2x+1、指数函数y=1.5x、对数函数y=log1.5x、
7、幂函数y=x1.5例,观察在(0,+)上的图像变化趋势及增长差异情况.,一次函数、幂函数、指数函数、对数函数的增长差异,一次函数y=kx+b(k0)、 指数函数y=ax(a1)、 对数函数y=logax (a1)、 幂函数y=xn (n0) 在(0,+)上都是增函数.,一次函数、幂函数、指数函数、对数函数的增长差异,通过图像和表格,容易看出,随着x的增大,各、函数值的变化及相应增量规律为:,直线型均匀上升,增量恒定;,指数型急剧上升,增量快速增大;,对数型缓慢上升,增量逐渐减少;,幂函数型虽上升较快,但随着x的不断增大上升趋势远不如指数型,几乎有些微不足道,其增量缓慢递增.,一次函数、幂函数、指数函数、对数函数的增长差异,函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型,不同的变化规律需要不同的函数模型来描述. 学习了常数函数、一次函数、指数函数、幂函数、对数函数的图像变化趋势及增量差异:,直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义,理解了它们的增长差异性,课堂小结,再见!,谢谢大家!,知识是宝库, 而实践是开启宝库的钥匙.,世间无所谓天才,它仅是刻苦加勤奋.,