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1、机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、定积分的换元法,5.3 内容回顾,(第二换元),(第一换元),(注:凑微分不换限),f(x)为连续偶函数时,f(x)为连续奇函数时.,二、定积分的分部积分法,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(上、下限为x的范围),n 为偶数,n 为奇数,二、无界函数的反常积分,(定积分)常义积分,积分限有限,被积函数有界,推广,一、无穷限的反常积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,反常积分,(广义积分),5.4 反常积分,第五章,(广义积分),定义1. 设,若,存在 ,则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分,记作,这时称反常积分,收敛 ;,如果上述极限不
2、存在,就称反常积分,发散 .,类似地 , 若,则定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则定义,( c 为任意取定的常数,常取 c =0 ),只要有一个极限不存在 , 就称,发散 .,无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.,并非不定未定式 ,说明: 上述定义中若出现,机动 目录 上页 下页 返回 结束,它表明该反常积分发散 .,则有类似N L公式的计算表达式 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注:F(+)与 F(-)均收敛!否则反常积分发散.,若F(x)是f(x)的原函数,引入下面记号,可方便反常积分的计算,例1. 计算反常积分,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考:,分析:
3、,原积分发散 !,注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用,“偶倍奇零” 的性质,否则会出现错误 .,例2. 计算反常积分,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注: 反常积分也有分部积分法、换元法等.,且分部与换元的标准一般情况下与对应的不定积分 是一致的.,例3. 证明,证:当 p =1 时有,当 p 1 时有,当 p 1 时收敛 ; p1,时发散 .,因此, 当 p 1 时, 反常积分收敛 , 其值为,当 p1 时, 反常积分发散 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义2. 设,而在点 a 的右邻域内无界,存在 ,这时称反常积分,收敛 ;,如果上述极限不存在,就称反常积
4、分,发散 .,类似地 , 若,而在 b 的左邻域内无界,若极限,数 f (x) 在 a , b 上的反常积分, 记作,则定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则称此极限为函,二、无界函数的反常积分,若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类,说明:,而在点 c 的,无界函数的积分又称作第二类反常积分,(也称瑕积分),无界点常称为瑕点(奇点) .,邻域内无界 ,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,间断点,而不是反常积分.,则本质上是常义积分,则定义,注意: 若瑕点,的计算表达式 :,则也有类似N L公式的,若 b 为瑕点, 则,若 a 为瑕点, 则,若 a , b 都为瑕点, 则,则,机
5、动 目录 上页 下页 返回 结束,均收敛才收敛,否则发散,均收敛才收敛,否则发散,注: 上面的叙述中 a b .,下述解法是否正确:, 积分收敛,例4. 计算反常积分,解: 显然瑕点为 a , 所以,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 讨论反常积分,的收敛性 .,解:由于,所以反常积分,发散 .,原式,例6. 证明反常积分,证: 当 q = 1 时,当 q 1 时收敛 ; q1,时发散 .,当 q1 时,所以当 q 1 时, 该反常积分收敛 , 其值为,当 q 1 时, 该反常积分发散 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 反常积分,积分区间无限,被积函数无界,
6、常义积分的极限,2. 两个重要的反常积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明: (1) 有时通过换元 , 反常积分和常义积分可以互,相转化 .,例如 ,(2) 当一题同时含两类反常积分时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分.,例计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,上限为，下限为瑕点令,原式,(s1时),为无穷限,(0s1时),既为无穷限又为瑕积分,下节中要讲的函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5.5函数,第五章,(s0时收敛),记为, 函数,1. 定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,下面给出函数的几条结论:,(2)
7、递推公式,特别地:,称为函数.,(1)当s0时, 函数收敛,(在下册中证明),函数的应用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如:计算,令,0,+,例如:计算,令,0,+,概率论中常用积分,习题课 目录 上页 下页 返回 结束,本节要求:记住 函数的定义及性质,并会应用 .,作业 P268 3,令,备用题 1 计算,解:,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(P271 17(2),（+1）1,求,解:,(分部积分),机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.,a0,证明:,证:,令,左边=,(向右边靠拢),仅证:,令,所以,4.求下列积分,(且不易求出原函数时,负代换试),(且不易求出原函数时, 令x=at试）,积分区间为对称区间时,积分区间为0 , a时,如P245 例6 及P250 11(13),P265 7(2) 及P266 14(1),令,如266 14(2),P260 1 (4) , (5) , (6) , (9) , (10) ; 2 ; 3,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,作业,作业 P268 3,5 计算,解:x=0为瑕点,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(P266 14(1),所以,注:,令,令,
