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1、5 第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）,有向曲面：通常我们遇到的曲面都是双侧的 例如 由方程zz(x y) 表示的曲面分为上侧与 下侧 设n(cos cos cos)为曲面上的 法向量 在曲面的上侧cos0 在曲面的 下侧cos0 闭曲面有内侧与外侧之分,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,一、对坐标的曲面积分的概念和性质,类似地 如果曲面的方程为yy(z x)则曲面分为左侧与右侧 在曲面的右侧cos0 在曲面的左侧cos0 如果曲面的方程为xx(y z) 则曲面分为前侧与后侧 在曲面的前侧cos 0 在曲面的后侧cos0,设是有向曲面，在上取一小块曲面S 把S投影到xOy面上得一投影区域 这
2、投影区域的面积记为()xy。假定S上各点处的法向量与z轴的夹角的余弦cos有相同的符号(即cos都是正的或都是负的) 我们规定S在xOy面上的投影(S)xy为,其中cos0也就是()xy0的情形 类似地可以定义S在yOz面及在zOx面上的投影(S)yz及(S)zx,1. 分割,则该点流速为 .,法向量为 .,3.取极限,2. 求和,这样的极限还会在其它问题中遇到 抽去它们的具体意义 就得出下列对坐标的曲面积分的概念,被积函数,积分曲面,类似可定义,存在条件:,组合形式:,物理意义: 表示流向 指定的流量,注意：,一个规定：如果是分片光滑的有向曲面 我们规 定函数在上对坐标的曲面积分等于函数在各
3、片光滑曲面上对坐标的曲面积分之和,对坐标的曲面积分的性质:,对坐标的曲面积分的性质:,二、对坐标的曲面积分的计算,1、逐个投影法【将曲面积分化为二重积分】,注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.,逐个投影法思路清晰,计算量大，一般不多用,2、转换投影法【将曲面积分同应到别的坐标面】,综合以上三式,有,类似地,投影转换到yoz平面时有:,类似地,投影转换到zox平面时有:,解法1：,逐个投影法,所以,于是,故,解法2,转换投影法,解,1 zc (0 xa 0yb)的上侧 2 z0 (0 xa 0yb)的下侧 3 xa (0yb 0zc)的前侧 4 x0 (0yb 0zc)的后侧 5 y0
4、 (0 xa 0zc)的左侧 6 yb (0 xa 0zc)的右侧,练习,解,解,1和2在xoy面上的投影区域都是 Dxy: x2y21 (x0 y0),其中是球面x2y2z21外侧在x0 y0的部分,解,解,1 z=0；2 x=0；3 y=0；4 x+y+z=1,当取外侧时， 1 取下侧； 2 取后侧； 3 取左侧； 4 取正侧,解：如图,三、两类曲面积分之间的联系,曲面(取下侧),因为,综合起来有：,其中cos 、cos 、cos 是有向曲面上点(x y z) 处的法向量的方向余弦,两类曲面积分之间的联系的向量形式,解 由两类曲面积分之间的关系，可得：,在对称积分区域上被积函数为奇函数，则积分值为零。,
