4风险收益投资者效用S复习课程

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1、1,第二部分 资产组合理论,将不同证券构成“一蓝子”资产进行投资，即形成一个资产组合。投资者在构建一个投资组合时，其所面临的主要问题: 第一，构建组合的原则是什么？ 第二，选择哪些资产或证券构成这一组合？ 第三，总投资额如何在这些资产或证券中分配？资产组合理论即要解决或部分解决这些问题。,2,第四章 风险、收益与投资者效用,投资学的一个基本指导理念即是风险与收益的最优匹配。对一个理性的投资者而言，所谓风险与收益的最优匹配，即是在一定风险下追求更高的收益；或是在一定收益下追求更低的风险。对风险与收益的量化以及对投资者风险偏好的分类，是构建资产组合时首先要解决的一个基础问题。,3,第一节 风险和收

2、益的衡量,一、单一资产风险风险与收益的衡量 （一）单一资产风险的衡量 一般将投资风险定义为实际收益对预期收益的 偏离，数学上可以用预期收益的方差来衡量。公式 为： 2 ri-E(ri)2 （4.1） 方差的平方根为标准差，公式为： （4.2）,5,风险溢价（Risk Premium），是指超过无风险资产收益的预期收益，这一溢价为投资的风险提供了补偿。其中的无风险（risk-free）资产，是指其收益确定，从而方差为零的资产。一般以货币市场基金或者短期国债作为无风险资产的代表品。 （三）实际应用 以上所研究的资产的风险与收益概念，在实际应用中涉及到两方面的问题，其一是如何应用上述概念计量投资的风

3、险和收益；其二是以计量结果指导资产选择。,6,首先我们来看在实际投资中对收益和风险的计量。如果我们是对某一股票进行投资，那么股票的未来收益和风险是不可知的，就需要用样本进行估计，即通过计算样本平均值和样本方差来估算其收益和风险。 在计算过程中一般用该股票以前已实现的收益为样本，并假设其收益的概率分布不变。该资产（股票）的样本平均值公式是： （4.4） 式中，N为收益观察值的数量，通常是一个时间变量，如几周、几个月。,7,样本平均值与预期收益是有差别的，这一差别也即风险因素，它可以通过样本方差计算，公式为： 2 （4.5） 通过上述计算过程，我们即可在实际投资中计量 单一资产的收益和风险。 例题

4、4.1： 假定投资于某股票，初始价格10元，持有期1年，现金红利为0.4元，预期股票价格在表3-1所示的不同经济运行状态下有如下三种可能，求各种可能下的收益率，并求该股票的期望收益和方差。,8,表4-1 一个假设的股票投资 经济状态 繁荣 正常运行 萧条 概率 0.25 0.50 0.25 期末价（元） 14 11 8 解：设r1、r2、r3分别为繁荣、正常运行和萧条状态下的收益率。则 r1（14-10+0.4）/1044 r2（11-10+0.4）/1014 r3（8-10+0.4）/1016 根据预期收益率计算公式：E(r)=(0.2544%)+(0.514%)+0.25(16）=14%,

5、9,再根据方差的计算公式： 2=0.25(44-14)2+0.5(14-14)2+0.25(-16-14)2 =450 其次我们再来看资产选择问题。一个风险厌恶 的投资者，其行为方式将服从均值方差标准（mean- variance criterion)，即如果投资者是风险厌恶 的，则其对于证券A和证券B的选择，当且仅当 E(rA)E(rB)，且A2B2成立时，投资者应选择 证券A而放弃证券B。这即是根据风险与收益的关系 进行资产选择的原则之一。,10,我们还可以采用夏普比率进行资产选择。所谓 夏普比率（Shape rate），是指承担单位风险下所 获得的收益。即： CV=E(r)/ （4.6）

6、 夏普比率的值越大，表明承担单位风险的情况 下所获得的收益越大，即该资产（或证券）越具有 投资价值。夏普比率是我们进行资产选择的又一重 要原则或指标。,11,二、 资产组合的收益和风险衡量,（一）资产组合的收益 1，对组合资产的投资决策，不仅要考虑单个资 产的收益和风险，而且要考虑资产组合作为一个整 体的收益和风险；还需要决定对组合中的某一单独 资产的投资比例。 2，资产组合的预期收益E(rp)是资产组合中所 有资产预期收益的加权平均，其中的权数x为各资产 投资占总投资的比率。公式为： E(rp)= 其中，i=1，2，n；x1+x2+xn=1。,12,例题4.2 其中组合期望收益率 0.316

7、 5 0.454 7 0.23 3,13,（二）资产组合的方差 1，资产组合的方差不是各资产方差的简单加权 平均，而是资产组合的收益与其预期收益偏离数的 平方，即： 2p=Erpi-E(rp)2 式中，I为假设状态，rip为资产组合p在I状态 下的收益率。 2，对n个资产的组合，计算方差的一般公式 为： 2p= （其中，i j） 公式表明，资产组合的方差是资产各自方差与 它们之间协方差的加权平均。,14,例题4.3 假设由两项资产构成投资组合，x10.25，1 0.20，x20.75，20.18，且120.01，计算 该组合的方差。 根据公式有： 2=0.252(0.20)2+0.25(0.7

8、5)(0.01)+0.752 (0.18)2+0.75(0.25)(0.01) =0.0245 可见组合投资有利于降低投资风险。但这一结果 的取得还有赖于资产之间的相关系数。,15,（三）相关系数与方差 1，相关系数 相关系数反映两个随机变量的联系程度，计算 公式为： ij= ij为资产A与B的相关系数，其取值为1， 1。正号表示正相关，负号表示负相关；1时 为完全正相关，1时为完全负相关，0时不相 关。,16,例题4.4 根据例题3的数据，其组合中两资产的相关系数 为： 12=0.01/(0.20.18)=0.278 可见，虽然两资产的相关系数为正，但趋近于 0，从而才导致例题2的组合风险低

9、于单个的资产风 险。相关系数越大，组合的风险越大。 阅读材料：p80,17,2，相关系数与方差 两资产组合的方差可由相关系数表示为： 2p=x2121+x2222+2x1x21212 由该式可见，12越大，2p越大；反之则反 是。这说明，资产的相关度越高，资产组合的风险 越大；或者说，选择相关度小的资产组合，可降低 投资风险。 N个资产组合的收益与方差的公式？,18,三、系统性风险的衡量,（一）非系统性风险 1，非系统性风险可以通过证券组合消除。如果 市场是有效的，则整个证券市场可以看作是“市场 组合”。 2，由于证券组合可消除非系统性风险，因此市 场组合或整个市场的非系统性风险为0。 （二）

10、系统性风险的衡量 1，可以用某证券的收益率与市场收益率之间的 系数代表该证券的系统性风险。 2，某证券的系数i是指该证券的收益率和 市场收益率的协方差im，再除以市场收益率的方 差2m，即,19,i=im/2m 3，对一个证券组合的系数p，它等于该组 合中各证券的系数的加权平均，权数为各种证券 的市值占该组合总市值的比重Xi，即： p （三）系统性风险的判断 1，如果某证券或证券组合的 1，其系统性风险与市场风险一致； 1，大于市场风险； 1，小于市场风险；0，无系统性风险。,20,2，等于、大于还是小于市场风险，本身无好 坏之分，要依据投资策略而看。因为一方面存在高 风险高收益，另一方面不同

11、投资者（或机构）对风 险的偏好（目标）不一样。若投资策略是追求风险 价值，则1或1是无效组合。,21,第二节 投资者的风险偏好,在对值的研究中我们提到，不同投资者有不同 的风险偏好。原则上，我们可以依据投资者对风险 的态度，将投资者分为风险厌恶型、风险中性和风 险偏好三种类型。 一、效用价值与确定性等价利率 衡量一项投资或投资组合的效用，即是观察其风 险与收益的匹配状态：在风险一定的情况下，预期 的收益越高，该投资或资产组合的效用价值越大； 而其收益波动性越强的投资或资产组合，效用值就 越低。,22,给定预期收益为E(r)，收益波动性（方差）为 2，则资产组合的效用价值为： U=E(r)-0.

12、005A2 (4.7) 式中U为效用价值；A为投资者的风险厌恶指 数；系数0.005是一个按比例计算的方法，这使得我 们可以将预期收益和标准差表述为百分比而不是表 示为小数。公式表明，高预期收益会提高效用，而 高波动性（风险）将较低效用。,23,我们可以将效用价值与无风险投资的报酬率进 行比较，以确定风险投资与安全投资之间的选择。 即我们可以将无风险投资的效用看作是投资者的确 定性等价的收益率。一个资产组合的确定性等价的 利率（certainty equivalent rate）是为使无风险 投资与风险投资具有相同吸引力而确定的无风险投 资的报酬率。,24,例题4.5： 如果某股票的期望收益率

13、为10%，方差2为42.42%，假定无风险利率为4%。如果某投资者A的 风险厌恶指数为3，而另一投资者B的风险厌恶指数 为2。请问这两个投资者该如何进行投资（资产）选 择？ 解：根据公式（4.7）给出的投资者效用价值公 式，对投资者A来说，如果他投资者于例题中所给的 股票，则其效用值为： UA=10-(0.005342.42) =3.25% 可见，对该股票的投资收益低于无风险报酬 率，即投资者A应放弃股票投资而选择对无风险资产 的投资。,25,对投资者B来说，其投资于股票的效用值为： UB=10-(0.005242.42) =5.5% 即收益高于无风险报酬率，投资者B就会选择投 资于股票。,2

14、6,二、投资者的风险偏好类型,U=E(r)-0.005A2 (4.7) 由公式（4.7）可见，方差（即风险）与效用价值负相关，即风险越大，投资组合给投资者的效用越低； 公式（4.7）还表明，风险减少效用的程度取决于投资者的风险厌恶指数A。,27,一个风险厌恶（risk averse）型的投资者，其 为补偿所承担的风险，会按一定比例降低投资组合 的预期收益，从而将降低组合的效用价值。换言 之，对风险厌恶的投资者来说，为了保持其效用不 变，要使其承担一定的风险，必须给予其更高的预 期收益。也就是说，风险厌恶型的投资者，其风险 与收益是正相关的。 一个风险中性（risk-neutral）的投资者只按 预期收益率来衡量组合的效用，即风险（方差）因 素与其投资组合所带来的效用无关。,28,风险爱好者（risk lover）在其效用中加入了 风险的“乐趣”，即风险的增加提高了投资组合的 效用。换言之，风险爱好者的预期收益与风险之间 是负相关的：既便预期收益有所下降，他也愿意承 担更大的风险。 案例4.2：贝塔值的应用研究 案例4.4 ：我国证券投资基金的风险偏好,