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1、专题08 动点类题目旋转问题探究题型一：旋转问题中三点共线问题例1（2019绍兴）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD=30，DM=10. （1）在旋转过程中，当A、D、M三点在同一直线上时，求AM的长.当A、D、M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长.（2）若摆动臂AD顺时针旋转90，点D的位置由ABC外的点D1转到其内的点D2处，连接D1D2，如图2，此时AD2C=135，CD2=60，求BD2的长.题型二：旋转与全等及直角三角形存在性问题例2（2019金华） 如图，在等腰RtABC中
2、，ACB=90，AB=.点D，E分别在边AB，BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90得到EF.（1）如图1，若AD=BD，点E与点C重合，AF与DC相交于点O,求证：BD=2DO.（2）已知点G为AF的中点.如图2，若AD=BD，CE=2，求DG的长.若AD=6BD,是否存在点E,使得DEG是直角三角形？若存在，求CE的长；若不存在，试说明理由. 图1 图2 图3题型三：旋转问题中线段比值是否变化问题例3（2019德州）（1）如图1，菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且BAD=60，请直接写出HD:GC:EB的值；（2）将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2，求HD
3、:GC:EB；（3）把图2的菱形都换成矩形，如图3，且AD:AB=AH:AE=1:2，此时HD:GC:EB的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果；若无变化，说明理由. 图1 图2 图3题型四：旋转问题中落点规律性问题例4（2019台州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是BA延长线上的一点，连接PC交AD于点F，AP=FD.（1）求的值；（2）如图1，连接EC，在线段EC上取一点M，使EM=EB，连接MF，求证：MF=PF；（3）如图2，过点E作ENCD于点N，在线段EN上取一点Q，使AQ=AP，连接BQ、BN，将AQB绕点A旋转，使点Q旋转后的
4、对应点Q落在边AD上. 请判断旋转后B的对应点B是否落在线段BN上，请说明理由. 题型五：旋转问题中函数及落点问题例5（2019连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数yx+b的图象与函数y（x0）的图象相交于点A（1，6），并与x轴交于点C点D是线段AC上一点，ODC与OAC的面积比为2：3（1）k ，b ；（2）求点D的坐标；（3）若将ODC绕点O逆时针旋转，得到ODC，其中点D落在x轴负半轴上，判断点C是否落在函数y（x0）的图象上，并说明理由题型六：几何图形旋转中的类比探究例6（2019自贡）（1）如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将BDE绕点D逆时针旋转9
5、0，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.线段DB和DG之间的数量关系是 ；写出线段BE，BF和DB之间的数量关系.（2）当四边形ABCD为菱形，ADC=60，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将BDE绕点D逆时针旋转120，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE=1，AB=2，直接写出线段GM的长度.图1 图2 图3题型六：几何图形旋转中的计算题目例7（2019潍坊）如图1，菱形ABCD的顶点A、D在直线
6、上，BAD=60，以点A为旋转中心将菱形ABCD顺时针旋转（030），得到菱形ABCD. BC交对角线AC于点M，CD交直线l于点N，连接MN.（1）当MNBD时，求的大小.（2）如图2，对角线BD交AC于点H，交直线l于点G，延长CB交AB于点E，连接EH. 当HEB的周长为2时，求菱形ABCD的周长. 答案与解析题型一：旋转问题中三点共线问题例1（2019绍兴）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD=30，DM=10. （1）在旋转过程中，当A、D、M三点在同一直线上时，求AM的长.当A、D
7、、M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长.（2）若摆动臂AD顺时针旋转90，点D的位置由ABC外的点D1转到其内的点D2处，连接D1D2，如图2，此时AD2C=135，CD2=60，求BD2的长.【分析】（1）根据点D及M的运动轨迹为圆，根据位置关系判断出点A、D、M三点在同一直线上时有两种情况，点D在A与M之间或点M在A与D之间；由题意知D、M均可能为直角顶点，分类讨论求解；（2）由题意知AD1D2是等腰直角三角形，连接CD1，ABD2ACD1，由D1D2C=90，利用勾股定理求得CD1的值，即为BD2的值.【答案】见解析.【解析】解：（1）点D在A与M之间时，AM=AD+DM=30+1
8、0=40. 点M在A与D之间时，AM=ADDM=3010=20.当ADM=90时， 由勾股定理得AM=;当AMD=90时， 由勾股定理得AM=;（2）摆动臂AD顺时针旋转90，点D的位置由ABC外的点D1转到其内的点D2处，AD1=AD2，D1AD2=90，AD1D2=AD2D1=45，D1D2=AD2C=135，D1D2C=90，连接D1C，如下图所示， BAD2+D2AC=CAD1+D2AC=90，BAD2=CAD1AB=AC，AD2=AD1，ABD2ACD1BD2= CD1在RtD1D2C中，由勾股定理得：D1C=.题型二：旋转与全等及直角三角形存在性问题例2（2019金华）如图，在等腰
9、RtABC中，ACB=90，AB=.点D，E分别在边AB，BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90得到EF.（1）如图1，若AD=BD，点E与点C重合，AF与DC相交于点O,求证：BD=2DO.（2）已知点G为AF的中点.如图2，若AD=BD，CE=2，求DG的长.若AD=6BD,是否存在点E,使得DEG是直角三角形？若存在，求CE的长；若不存在，试说明理由. 图1 图2 图3【分析】（1）如图1中，首先证明CDBDAD，再证明四边形ADFC是平行四边形即可解决问题（2）作DTBC于点T，FHBC于H证明DG是ABF的中位线，想办法求出BF即可解决问题分三种情形情形：如图31中，当DEG9
10、0时，F，E，G，A共线，作DTBC于点T，FHBC于H设ECx构建方程解决问题即可如图32中，当EDG90时，取AB的中点O，连接OG作EHAB于H构建方程解决问题即可如图33中，当DGE90时，构造相似三角形，利用相似三角形的性质构建方程解决问题即可【解答】（1）证明：如图1中，CACB，ACB90，BDAD，CDAB，CDADBD，CDCF，ADCF，ADCDCF90，ADCF，四边形ADFC是平行四边形，ODOC，BD2OD（2）解：如图2中，作DTBC于点T，FHBC于H由题意：BDADCD7，BCBD14，DTBC，BTTC7，EC2，TE5，DTEEHFDEF90，DET+TDE
11、90，DET+FEH90，TDEFEH，EDEF，DTEEHF（AAS），FHET5，DBEDFE45，B，D，E，F四点共圆，DBF+DEF90，DBF90，DBE45，FBH45，BHF90，HBFHFB45，BHFH5，BF5，ADCABF90，DGBF，ADDB，AGGF，DGBF解：如图31中，当DEG90时，F，E，G，A共线，作DTBC于点T，FHBC于H设ECxAD6BD，BDAB2，DTBC，DBT45，DTBT2，DTEEHF，EHDT2，BHFH12x，FHAC，整理得：x212x+280，解得x62如图32中，当EDG90时，取AB的中点O，连接OG作EHAB于H设EC
12、x，由2可知BF（12x），OGBF（12x），EHDEDGDOG90，ODG+OGD90，ODG+EDH90，DGOHDE，EHDDOG，整理得：x236x+2680，解得x182或18+2（舍弃），如图33中，当DGE90时，取AB的中点O，连接OG，CG，作DTBC于T，FHBC于H，EKCG于K设ECxDBEDFE45，D，B，F，E四点共圆，DBF+DEF180，DEF90，DBF90，AOOB，AGGF，OGBF，AOGABF90，OGAB，OG垂直平分线段AB，CACB，O，G，C共线，由DTEEHF，可得EHDTBT2，ETFH12x，BF（12x），OGBF（12x），CKEKx，GK7（12x）x，由OGDKEG，可得，解得x2，综上所述，满足条件的EC的值为62或182或2【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题题型三：旋转问题中线段比值是否变化问题例3（2019德州）（1）如图1，菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且BAD=60，请直接写出HD:GC:EB的值；（2）将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2，求HD:GC:EB；（3）把图2的
