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1、1,第三章 数字滤波,一、滤波器基本概念,1.滤波器的定义 对输入信号进行某种加工处理，以获得信号中的有用信息而去掉无用信息的一个装置或系统。,2.滤波器分类 模拟滤波器：用无源（R、L、C）器件或有源器件（运算放大器）组成的一个物理装置或系统。 数字滤波器：将经过采样和模数转换得到的数字量，进行某种数学处理以获得信号中有用信息，去掉信号中的无用信息。,S/H,A/D,数字处理,D/A,2,4.数字滤波器的优点 数字滤波器是根据数学表达式由软件实现，有如下优点： 特性一致性好 不存在温度变化对滤波器性能的影响 不存在阻抗匹配问题 滤波器特性容易修改 多路模拟量可以共享,因此，主要讨论数字滤波器
2、的原理与设计,3.模拟滤波器的缺点 模拟滤波器由硬件实现，有如下缺点： 元器件特性差异对滤波器性能的影响 温度对滤波器性能的影响 滤波器特性修改很难 输入阻抗、输出阻抗的匹配 每路模拟量都需要，不能共享,3,二、连续时间系统的频率特性和冲激响应,1.基本概念,系统 反映原因和结果关系的装置或运算可称为系统。一个系统可以用下图表示。,线性系统 满足下式的系统称为线性系统，即：,输入为X1（t）时的输出,输入为X2（t）时的输出,若用算子符号T来描述系统，则可表示为：,T,4,时不变系统 满足下式的系统称为时不变系统，即：,上式表明：输入推迟一个时间t1，则输出也推迟一个时间t1,且波形不变。,因
3、果系统 输出变化不会发生在输入变化之前的系统。,稳定系统 任意有界输入都不会产生无界输出的系统。 绝大多数系统都是线性、时不变、稳定的因果系统。,5,2.冲激函数(t),定义 冲激函数(t)定义为：,冲激函数表示法,面积为1的矩形脉冲,由上式可知：(t)是发生在t=0时具有单位面积的一个无限窄的脉冲。可以理解为面积为1的矩形脉冲在脉冲宽度趋于0时的极限。,性质 任意函数f(t)与(t)相乘后，沿时间轴的积分为f(t)在t=0时刻的值，即：,类似可得：,发生在t1时刻的一个冲击, (t)的频谱,傅氏变换的定义：,6,3.连续时间系统的频率特性,连续系统的输入和输出在频域具有如下关系：,输出的傅氏
4、变换或频谱,输入的傅氏变换或频谱,系统的频率特性,H(f)一般是复数，可表示为：,幅频特性,相频特性,H(f) 是对系统或滤波器的充分描述，任意输入信号可以分解为无限多个频率成分，通过H(f)得到对应每一个输入分量的输出，其总和就是对应任意输入信号的输出。因此，只要知道滤波器的频率特性就知道滤波器的行为。 H(f)反映的是滤波器的频域特性，即通过H(f)可以清楚地看到滤波器滤除不需要频率成分的能力。不能直观地看到滤波器的输入和输出在时域的关系。,4.连续时间系统的冲激响应,定义 当系统或滤波器的输入为冲激函数(t)时，其输出记为h(t),称为该系统的冲激响应，则可表示为：,对于因果系统有：当t
5、0时，h(t)=0, 对于时不变系统有：,7,结论：冲激响应h(t)对系统或滤波器的描述也是充分的,任意输入信号可以用无穷个冲激之和来表示，即：,变量t对于积分式来说是一个常数。积分式的值等于=t时x()的值，即x(t)。,因此，只要知道冲激响应h(t)，就可以求出任意输入时的输出。,卷积积分,5.冲激响应与频率特性之间的关系,对上式两边进行傅氏变换可得：,进行变量替换=t-，可得：,可以证明卷积满足交换率，即：,因此，可得：,8,因此有：,时域卷积定理：,结论：频率特性和冲激响应是一个傅氏变换对。,频域卷积定理：,例：具有矩形冲激响应的滤波器的滤波作用,9,滤波器的响应时间 滤波器的输入从一
6、个稳态到另一个稳态时，其输出要经历一个过渡过程的延时才能达到新的稳态输出，这种延时成为滤波器的响应时间。对于微机保护，这是一个重要指标。 响应时间与滤波器的冲激响应有直接的联系。冲激响应的持续时间越长，滤波器的响应时间越长。 结论：设计滤波器时，既要考虑频率特性，又要考虑响应时间。,实际的冲激响应必定是偏向时间轴右侧，如图所示，因为必须满足当t0时，h(t)=0的条件，根据延时定理，其傅氏变换如图所示，增加了一个相移特性(f)。,可得：,因此，具有冲激响应的滤波器实际上是将输入信号移动的积分，积分区间的长度为T，能够完全滤除输入信号中频率为f=1/T及其整数倍的各种频率成分。,将如图（a）所示
7、的冲激响应带入下式：,10,5.周期时间函数的傅氏变换和傅氏级数,直流量的傅氏变换 设f(t)=1，则：,因为冲激函数(t)的傅氏变换为1，通过傅氏反变换可得：,用变量置换，将t和f互换，可得：,比较式（1）和式（2）的右侧，除了e的指数符号不同外，其它完全相同，由于积分的上下限为+和-，所以式（1）和式（2）右侧的积分值相同。 结论：常数1的傅氏变换为频域的冲激函数(f)。,复指数函数 的傅氏变换 对f(t)进行傅氏变换得：,正弦和余弦信号的傅氏变换 正弦和余弦信号可以表示为：,11,周期为T的任意函数 的傅氏变换,将fT(t)展开成傅氏级数：,对上式两边进行傅氏变换，可得：,结论：周期函数
8、的傅氏变换的一般形式是一串间隔为基频f0的冲激，各冲激的强度为其各次谐波的幅度。,一串等间隔冲激的傅氏变换,T(t)为无穷多个间隔为T、强度为1的冲激，其傅氏级数的各次谐波的复系数为：,则T(t)的傅氏变换为：,结论：T(t)的傅氏变换是在频域的一串等间隔冲激，其强度和间隔均为1/T。,12,三、离散时间系统的频率特性和单位冲激响应,1.离散时间信号的频谱,连续信号x(t)经过采样和模数转换后得到离散信号,离散时域表示法,冲激表示法,仅在离散的时间域有定义，因此其傅氏变换定义为：,采样信号 可表示为：,X*(t)的傅氏变换为：,结论：x(nTs)与x*(t)的傅氏变换相同。,13,x*(t)与
9、x(t)频谱之间的关系,x*(t)是x(t)与一串间隔为Ts的均匀冲激Ts(t）的乘积，各冲激的强度是该采样时刻x(t)的瞬时值，可表示为：,对上式两边进行傅氏变换，并应用频域卷积定理可得：,X*(f)与X(f)的关系,由图可知：X*(f)相当于X(f)以fs为周期，拓广成频率的周期函数。 如果X(f)是限带的，并且满足：,则X*(f)在-fs/2到fs/2的一个周期范围内的形状同X(f)一样，即：通过x(t)在各个时刻的值x(nTs),就可以求出X*(f),在-fs/2到fs/2范围内按下式积分就可以得到x(t)在任意时刻的值。,14,由于离散时间信号的频谱是周期性的，其傅氏反变换形式定义为
10、：,定义在连续域的采样信号x*(t)的傅氏反变换为：,15,2.单位冲激序列和单位冲激响应,单位冲激序列的定义,与(t)的区别是，定义在离散域,单位冲激响应,一个离散系统对(nTs)的响应记为h(nTs)，称为该系统的单位冲激响应，用算子符号T表示为：,任意的离散输入信号x(nTs)可以表示为一串相互错开、幅值受到调制的单位冲激序列之和，即：,对应的输出可以用单位冲激响应表示为：,上式右侧成为卷积和，记为：,16,3.离散时间系统的频率特性,一个单位冲激响应为h(nTs)的离散系统的输入输出可以表示为：,对上式两端进行傅氏变换得：,输入信号的傅氏变换或频谱,单位冲激响应的傅氏变换或频谱,上式可
11、以表示为：,就是离散系统的频率特性，其物理意义与连续系统的频率特性一样。,冲激响应h(nTs)的Z变换称为系统的系统函数或传递函数。,17,四、Z变换及其性质,1.Z变换定义 离散信号为x(n)的Z变换定义如下：,2.Z变换的基本性质 线性性质 设m(n)=ax(n)+by(n)，a、b为常数，则：,位移性质 设离散信号x(n)的Z变换为X(z)，则右移序列x(n-r)的Z变换为：,右移序列x(n-r)的Z变换公式推导如下，根据Z变换的定义有：,变量替换k=n-r,18,设离散信号x(n)的Z变换为X(z)，则左移序列x(n+r)的Z变换为：,左移序列x(n+r)的Z变换公式推导如下，由Z变换
12、的定义有：,变量替换i=n+r,卷积性质 设m(n)是x(n)和y(n)的卷积，即：,则：,推导如下，由Z变换的定义有：,19,五、数字滤波器分类,按脉冲响应时间分,无限冲激响应滤波器(IIR):,有限冲激响应滤波器(FIR):,按运算结构分,非递归型数字滤波器:,递归型数字滤波器:,特点：在有限冲击响应滤波器(FIR)和非递归型数字滤波器中，一般不存在输出对输入的反馈支路。,数字滤波器的传递函数 输出信号的Z变换与输入信号的Z变换之比，即：,非递归型数字滤波器的传递函数：,递归型数字滤波器的传递函数：,20,数字滤波器的频率响应 滤波器的频率响应定义为：,=,式中=2f，f为输入信号的频率；
13、,幅频特性：,相频特性：,21,六、几种常用的数字滤波器 1.差分滤波器,差分滤波器可以表示为：y(n)=x(n)-x(n-k)，K1,差分滤波器当前时刻输出y(n)与先行输出无关，属于非递归型数字滤波器。,传递函数 对上式进行Z变换可得：,传递函数为：,差分滤波器的幅频特性和相频特性,将 带入上式中，得差分滤波器的幅频特性和相频特性。,幅频特性：,相频特性：,22,差分滤波器的特性分析,设需滤除m次谐波，将,带入，应使,即：,将,带入上式，可求得：,即：,差分滤波器特点： 能够滤除直流分量； 能够滤除所有的偶次谐波分量； 能够滤除部分奇次谐波分量。,23,2.加法滤波器,加法滤波器可以表示为
14、：y(n)=x(n)+x(n-k)，K1,加法滤波器当前时刻的输出y(n)与先行输出无关，属于非递归型数字滤波器。,传递函数 对上式进行Z变换可得：,传递函数为：,加法滤波器的幅频特性和相频特性,将 带入上式中，得加法滤波器的幅频特性和相频特性。,幅频特性：,相频特性：,24,加法滤波器的特性分析,设需滤除m次谐波，将,带入，应使,即：,将,带入上式，可求得：,即：,加法滤波器特点： 不能滤除直流分量； 能够滤除所有的奇次谐波分量； 能够滤除部分偶次谐波分量。,25,3.积分滤波器,积分滤波器可以表示为：y(n)=x(n)+x(n-1)+x(n-2) +x(n-k)，K1,积分滤波器当前时刻的
15、输出y(n)与先行输出无关，属于非递归型数字滤波器。,传递函数 对上式进行Z变换可得：,传递函数为：,积分滤波器的幅频特性和相频特性,将 带入上式中，得积分滤波器的幅频特性和相频特性。,幅频特性：,相频特性：,积分滤波器的特性分析,设需滤除m次谐波，将,带入，应使,26,将,带入上式，可求得：,即：,能够滤除所有的偶次谐波分量； 能够滤除部分奇次谐波分量。,积分滤波器的幅频特性可为表示为：,此时，上式的值为1，所以积分滤波器不能滤除直流分量。,由,可知，当,积分滤波器特点： 不能滤除直流分量；,27,4.加减法滤波器,加减法滤波器可以表示为：,当前时刻的输出y(n)与先行输出无关，属于非递归型
16、数字滤波器。,传递函数 对上式进行Z变换可得：,传递函数为：,加减法滤波器的幅频特性和相频特性,当K为奇数或偶数时，加减法滤波器的特性不同。将 带入上式中，得加减法滤波器的幅频特性和相频特性。,幅频特性：,相频特性：,K为奇数时,K为偶数时,K为奇数时,K为偶数时,28,加减法滤波器的特性分析(K为奇数),设需滤除m次谐波，将,带入，应使,即：,将,带入上式，可求得：,即：,加减法滤波器(K为奇数时)特点: 能够滤除直流分量； 能够滤除所有的偶次谐波分量； 能够滤除部分奇次谐波分量。,29,加减法滤波器的特性分析(K为偶数时),设需滤除m次谐波，将,带入，应使,即：,将,带入上式，可求得：,即：,加减法滤波器(K为偶数时)特点： 不能滤除直流分量； 能够滤除部分偶次谐波分量； 能够滤除所有奇次谐波分量。,30,5.简单滤波器的级联,由M个滤波器串联构成的滤波器的传递函数为：,幅频特性为：,相频特性为：,第i个滤波器的传递函数,31,七、非递归型数字滤波器设计,非递归型数字滤波器是将输入信号与滤波器的单
