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1、3.2洛必塔法则,1. 未定式,2. 洛必达法则,3. 应用洛必达法则的注意事项,一、洛必达法则,定义,都趋于零或都趋于无穷大,则极限,例如,定理,设(1),零;,(2),或,型未定式.,(或为无穷大),那么,(3),存在,证,因函数在某点的极限是否存在,取何值无关,故可补充定义,根据定理的条件,与函数在该点,取何值无关,故可补充定义,根据定理的条件,为端点的区间上满足柯西中值定理的条件,于是,有,所以,证毕.,注:,1.,上述定理仍然成立;,2.,也有与上述,定理完全类似的结论:,我们把这种在一定条件下,导,法则.,通过对分子分母分别求,再求极限来确定未定式的值的方法,称为洛必达,例1,解,
2、求,原式,例2,解,求,原式,注:,上式中,已不是未定式,不能再对它,应用洛必达法则.,完,例3,解,求,例4,解,求,注:,若求,则可利用,上面求出的函数极限,得,完,例5,解,求,完,例6,解,求,原式,例7,解,求,得,原式,例7,解,求,得,原式,例7,解,求,得,原式,注:,对数函数,幂函数,指数函数,但它们增大的速度很不,一样,其增大速度比较:,对数函数幂函数指数函数.,例8,解,求,故,例9,解,求,但分子分母分别求导,数后,将化为,此式振荡无极限,故洛必达法则失效,不能使用.,但原极限是存在的,可用下法求得:,完,例10,解,求,可将乘积化为除的形式,即化为,或,型的未定式来计
3、算.,二、其它类型的未定式：,例11,求,解,来计算.,完,例12,求,解,将它变形为,由于,故,完,例13,求,例14,求,解,完,内容小结,1. 未定式,型,2. 洛必达法则,定理,(或,邻域内，,存在(或为无穷大)；,3. 应用洛必达法则的注意事项,(1) 解题过程中可反复使用该法则，,但每次,使用均要验明满足定理的条件 .,(2) 该定理是充分性定理，,因而当使用该法则后,极限不存在或不能求出时，,原极限仍可能利用其它,方法求出该极限 .,(3) 该法则并非总是求极限的最简便方法，,实际应用时应从各种求极限的方法中选用最好,即使使用该方法也可根据实际情况，,与其它方法如约分、等价无穷小替换、,定式的极限等配合使用 .,的方法，,提出,
